home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / COSY_PAK / COSY_Notes / 01_Introduction.ma next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-06  |  216.9 KB  |  8,191 lines
  1. (*^
  2.  
  3. ::[paletteColors = 128; showRuler; currentKernel; 
  4.     fontset = title, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e8,  28, "Times"; ;
  5.     fontset = subtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e6,  22, "Times"; ;
  6.     fontset = subsubtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e6,  16, "Times"; ;
  7.     fontset = section, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, grayBox, M22, L1, a20,  22, "Times"; ;
  8.     fontset = subsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, blackBox, M19, L1, a15,  16, "Times"; ;
  9.     fontset = subsubsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, whiteBox, M18, L1, a12,  14, "Times"; ;
  10.     fontset = text, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  11.     fontset = smalltext, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  12.     fontset = input, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeInput, M42, N23, L1,  14, "Courier"; ;
  13.     fontset = output, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  14, "Courier"; ;
  14.     fontset = message, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  14, "Courier"; ;
  15.     fontset = print, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  14, "Courier"; ;
  16.     fontset = info, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  14, "Courier"; ;
  17.     fontset = postscript, PostScript, formatAsPostScript, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeGraphics, M7, l34, w282, h287, L1,  14, "Courier"; ;
  18.     fontset = name, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  19.     fontset = header, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  16, "Times"; ;
  20.     fontset = Left Header, nohscroll, cellOutline,  14, "Times"; ;
  21.     fontset = footer, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, L1,  14, "Times"; ;
  22.     fontset = Left Footer, cellOutline, blackBox,  14, "Times"; ;
  23.     fontset = help, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  24.     fontset = clipboard, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  25.     fontset = completions, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Courier"; ;
  26.     fontset = special1, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  27.     fontset = special2, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  28.     fontset = special3, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  29.     fontset = special4, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  30.     fontset = special5, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;]
  31. :[font = title; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; fontColorBlue = 65535; ]
  32.  
  33. COSY_PAK
  34. Control Systems Analysis Package
  35.   for Mathematica 
  36. ;[s]
  37. 2:0,0;49,1;61,-1;
  38. 2:1,25,19,Times,1,28,0,0,0;1,25,19,Times,2,28,0,0,0;
  39. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  40.  
  41. By
  42.  C.K. Chen              N. Sreenath 
  43.   1992
  44.        
  45. :[font = message; inactive; preserveAspect; center; rightWrapOffset = 529; ]
  46. Systems Engineering Department
  47. Case School of Engineering
  48. Case Western Reserve University
  49. Cleveland, OH, 44106-7070
  50.  
  51. :[font = message; inactive; preserveAspect; center; rightWrapOffset = 529; ]
  52.  
  53.  
  54. Support from
  55. CWRU Information and Network Services - Dr. Ray Neff
  56. Case Alumni Association
  57. The Lilly Foundation
  58. :[font = input; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  59.  
  60.  
  61.  
  62.  
  63. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  64. Chapter 1 
  65. Introduction to Control Systems 
  66.  
  67.  
  68. ;[s]
  69. 4:0,0;10,1;11,2;43,3;45,-1;
  70. 4:1,20,15,Times,1,22,65535,0,0;1,20,15,Times,1,22,0,0,0;1,20,15,Times,1,22,0,0,65535;1,16,12,Times,1,18,0,0,0;
  71. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  72. Initialization
  73. :[font = input; initialization; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  74. *)
  75. (* Initialization of Path *)
  76.  
  77. (* Example For UNIX machine  (Default) *)   
  78.  
  79. $Path=Join[$Path,
  80.     {"~/Library/Mathematica/Packages"}];
  81.  
  82.  
  83. (* Example For IBM PC          *)
  84. (*
  85. $Path=Join[$Path,    
  86.      {"c:\winmath\packages"}];     
  87. *)     
  88.  
  89. (* Example For MAC          *)
  90. (*
  91. $Path=Join[$Path,    
  92.      {"My_Harddisk:Mathematica:Package"}];     
  93. *)     
  94.  
  95. (*
  96. :[font = input; initialization; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; ]
  97. *)
  98. Needs["COSYPAK`chap1`"]
  99.  
  100. (*
  101. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  102. Acknowledgements
  103. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; ]
  104. Special thanks to Brian Evans of Georgia Tech for the LaPlace transform and signal packages which is a part of the Signal Processing Packages :Copyright: Copyright 1989-1991 by Brian L. Evans, Georgia Tech Research Corporation.
  105.  
  106. The sections Signals, Forward Laplace Transforms,  Inverse Laplace Transforms, Differential Equation With Zero-Valued Initial Conditions, and, Differential Equation With Initial Conditions of the material in this 01_Introduction COSY_PAK notebook has been borrowed from Brian Evans'  Georgia Tech Signal Processing Packages notebook (see README file on how to get these packages).
  107. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  108. Analyticity
  109. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  110.  Definition :If G(s) and (dn G(s)/dsn) exists for n=1,2,3,... then G(s) is analytic.
  111.  
  112.  Cauchy-Reimaan Conditions : A test for analyticity at the point s = s+ j w is using the Cauchy-Reimaan conditions given below :
  113.  
  114. ¶Gx(s)/ ¶s = ¶Gy(s)/ ¶w  and ¶Gy(s)/ ¶s = -¶Gx(s)/ ¶w
  115.  
  116. COSY_PAK Function
  117.  ChekAnal[Transf, s, r, w,showder]:  Checks the analyticity of the transfer function Transf(s) at the point at s=r+jw using the Cauchy-Reimaan conditions.  If `showder=1' (optional) then the derivatives in the computation are shown.
  118.  
  119.  Examples for using the functions follow. Change the  transfer function  to any desired function and re-evaluate.
  120.  
  121.  Note :  The variable  `r' is used instead of greek character s and `w' is used instead of greek character w. Also r and  w can be either numerical or symbolic values. 
  122.  
  123.  
  124. ;[s]
  125. 34:0,0;11,1;88,2;113,3;218,4;219,5;226,6;228,7;231,8;232,9;239,10;241,11;247,12;248,13;255,14;257,15;261,16;262,17;269,18;271,19;273,20;290,21;292,22;317,23;324,24;325,25;419,26;445,27;527,28;566,29;704,30;705,31;749,32;750,33;814,-1;
  126. 34:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  127. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  128. Example
  129. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  130. gg = 1/(s+1);
  131. ChekAnal[gg,s,r,w,1]
  132. :[font = print; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; ]
  133.                     1 + r                I w
  134.  G(r + w I) = ----------------- - -----------------
  135.                          2    2              2    2
  136.               1 + 2 r + r  + w    1 + 2 r + r  + w
  137. The derivatives:
  138.                                     2    2
  139.                         -1 - 2 r - r  + w
  140. d Re[G(r + w I)] /dr = --------------------
  141.                                    2    2 2
  142.                        (1 + 2 r + r  + w )
  143.                            -2 (1 + r) w
  144. d Re[G(r + w I)] /dw = --------------------
  145.                                    2    2 2
  146.                        (1 + 2 r + r  + w )
  147.                            2 (1 + r) w
  148. d Im[G(r + w I)] /dr = --------------------
  149.                                    2    2 2
  150.                        (1 + 2 r + r  + w )
  151.                                     2    2
  152.                         -1 - 2 r - r  + w
  153. d Im[G(r + w I)] /dw = --------------------
  154.                                    2    2 2
  155.                        (1 + 2 r + r  + w )
  156.     
  157.                               1
  158. The Transfer function G(s)= ----- IS an analytical
  159.                             1 + s
  160.  
  161.    function except at the singulality points: {-1}
  162. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  163. Example
  164. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  165. gg = (s+2)/(s+1)/(s+3);
  166. ChekAnal[gg,s,r,w]
  167. :[font = print; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  168.                                         2    2
  169.                     (2 + r) (3 + 4 r + r  + w )
  170.  G(r + w I) = --------------------------------------- + 
  171.                           2    2              2    2
  172.               (1 + 2 r + r  + w ) (9 + 6 r + r  + w )
  173.  
  174.                            2    2
  175.           -I w (5 + 4 r + r  + w )
  176.    ---------------------------------------
  177.                2    2              2    2
  178.    (1 + 2 r + r  + w ) (9 + 6 r + r  + w )
  179.     
  180.                                  2 + s
  181. The Transfer function G(s)= --------------- IS an analytical
  182.                             (1 + s) (3 + s)
  183.  
  184.    function except at the singulality points: {-1, -3}
  185. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  186. Poles and Zeros
  187. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  188.  
  189. We define 
  190. Ordinary points : Values of s where G(s) is analytic.
  191.  
  192. Singular points :  Values of s where G(s)  i s not analytic.
  193.  
  194. Poles : Singular points of G(s) where G(s) and (dn G(s)/dsn) for n=1,2,3,... approach ` ¥ ' 
  195.             (infinity). If 
  196.             
  197.             lim [G(s) (s+p)n] = finite,
  198.             s->p
  199.  for some  n=1,2,... then s=p is called an n'th order pole.
  200.  
  201. Zeros : lim [G(s)] =0, then s=z is a zero of G(s).
  202.             s->z
  203.             
  204. COSY_PAK Function
  205. PoleZeros[Transf, s]: Computes finite  poles and zeros of the transfer function Transf . Returns {list of poles, list of zeros}.
  206.  
  207. Q : Can you determine the order of the pole from the output of this function ?
  208. A : The order of the pole can be determined  from the output by the number of times the 
  209.        pole  value repeats.
  210. ;[s]
  211. 19:0,0;1,1;11,2;12,3;27,4;67,5;82,6;129,7;134,8;217,9;218,10;382,11;387,12;463,13;501,14;578,15;608,16;642,17;643,18;806,-1;
  212. 19:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,0,0,Symbol,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  213. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  214. Examples
  215. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  216. gg = (s+2)(s^2+10)/(s^6+232 s^5-4 s^4 +12 s^3 +123); 
  217. results = PoleZeros[gg,s];
  218. (* List of poles results[[1]] *)
  219. (* List of zeros results[[2]] *)
  220. :[font = print; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  221.                                                   2
  222.                                    (2 + s) (10 + s )
  223. The transfer function G(s)= --------------------------------
  224.                                       3      4        5    6
  225.                             123 + 12 s  - 4 s  + 232 s  + s
  226.     
  227. The Poles of G(s) is:{-232.017, -0.866551, -0.264287 - 0.84923 I, 
  228.  
  229.    -0.264287 + 0.84923 I, 0.706293 - 0.523955 I, 0.706293 + 0.523955 I}
  230.     
  231. The Zeros of G(s) is:{-2., 3.16228 I, -3.16228 I}
  232. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  233. Signals
  234. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  235. Dirac delta function
  236. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  237. Delta[expr] is the Dirac delta function. The area under this functions is 1 but it only has value at the origin. That is, Integrate[ Delta[t] g[t], {t, t1, t2} ] is g[0] if t1 <= 0 <= t2, 0 otherwise. It differs from the Kronecker delta function Impulse[t].
  238. ;[s]
  239. 11:0,0;12,1;18,2;41,3;121,4;162,5;164,6;170,7;220,8;237,9;245,10;257,-1;
  240. 11:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;
  241. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  242. SignalPlot[Delta[t-1/2],{t,-1,1},
  243.                 PlotLabel->"Dirac delta function"]
  244. ;[s]
  245. 3:0,0;50,1;70,2;73,-1;
  246. 3:1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;
  247. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  248. %!
  249. %%Creator: Mathematica
  250. %%AspectRatio: 0.61803 
  251. MathPictureStart
  252. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  253. % Scaling calculations
  254. 0.5 0.47619 0.014715 0.588604 [
  255. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Msboxa
  256. [(-0.5)] 0.2619 0.01472 0 2 Msboxa
  257. [(0.5)] 0.7381 0.01472 0 2 Msboxa
  258. [(1)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  259. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  260. [(Dirac delta function)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotsboxa
  261. [(0.2)] 0.4875 0.13244 1 0 Msboxa
  262. [(0.4)] 0.4875 0.25016 1 0 Msboxa
  263. [(0.6)] 0.4875 0.36788 1 0 Msboxa
  264. [(0.8)] 0.4875 0.4856 1 0 Msboxa
  265. [(1)] 0.4875 0.60332 1 0 Msboxa
  266. [( )] 0.5 0.61803 0 -4 Msboxa
  267. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  268. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  269. ] MathScale
  270. % Start of Graphics
  271. 1 setlinecap
  272. 1 setlinejoin
  273. newpath
  274. %%Object: Graphics
  275. [ ] 0 setdash
  276. 0 setgray
  277. gsave
  278. gsave
  279. 0.002 setlinewidth
  280. 0.02381 0.01472 moveto
  281. 0.02381 0.02097 lineto
  282. stroke
  283. grestore
  284. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Mshowa
  285. gsave
  286. 0.002 setlinewidth
  287. 0.2619 0.01472 moveto
  288. 0.2619 0.02097 lineto
  289. stroke
  290. grestore
  291. [(-0.5)] 0.2619 0.01472 0 2 Mshowa
  292. gsave
  293. 0.002 setlinewidth
  294. 0.7381 0.01472 moveto
  295. 0.7381 0.02097 lineto
  296. stroke
  297. grestore
  298. [(0.5)] 0.7381 0.01472 0 2 Mshowa
  299. gsave
  300. 0.002 setlinewidth
  301. 0.97619 0.01472 moveto
  302. 0.97619 0.02097 lineto
  303. stroke
  304. grestore
  305. [(1)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  306. gsave
  307. 0.001 setlinewidth
  308. 0.07143 0.01472 moveto
  309. 0.07143 0.01847 lineto
  310. stroke
  311. grestore
  312. gsave
  313. 0.001 setlinewidth
  314. 0.11905 0.01472 moveto
  315. 0.11905 0.01847 lineto
  316. stroke
  317. grestore
  318. gsave
  319. 0.001 setlinewidth
  320. 0.16667 0.01472 moveto
  321. 0.16667 0.01847 lineto
  322. stroke
  323. grestore
  324. gsave
  325. 0.001 setlinewidth
  326. 0.21429 0.01472 moveto
  327. 0.21429 0.01847 lineto
  328. stroke
  329. grestore
  330. gsave
  331. 0.001 setlinewidth
  332. 0.30952 0.01472 moveto
  333. 0.30952 0.01847 lineto
  334. stroke
  335. grestore
  336. gsave
  337. 0.001 setlinewidth
  338. 0.35714 0.01472 moveto
  339. 0.35714 0.01847 lineto
  340. stroke
  341. grestore
  342. gsave
  343. 0.001 setlinewidth
  344. 0.40476 0.01472 moveto
  345. 0.40476 0.01847 lineto
  346. stroke
  347. grestore
  348. gsave
  349. 0.001 setlinewidth
  350. 0.45238 0.01472 moveto
  351. 0.45238 0.01847 lineto
  352. stroke
  353. grestore
  354. gsave
  355. 0.001 setlinewidth
  356. 0.54762 0.01472 moveto
  357. 0.54762 0.01847 lineto
  358. stroke
  359. grestore
  360. gsave
  361. 0.001 setlinewidth
  362. 0.59524 0.01472 moveto
  363. 0.59524 0.01847 lineto
  364. stroke
  365. grestore
  366. gsave
  367. 0.001 setlinewidth
  368. 0.64286 0.01472 moveto
  369. 0.64286 0.01847 lineto
  370. stroke
  371. grestore
  372. gsave
  373. 0.001 setlinewidth
  374. 0.69048 0.01472 moveto
  375. 0.69048 0.01847 lineto
  376. stroke
  377. grestore
  378. gsave
  379. 0.001 setlinewidth
  380. 0.78571 0.01472 moveto
  381. 0.78571 0.01847 lineto
  382. stroke
  383. grestore
  384. gsave
  385. 0.001 setlinewidth
  386. 0.83333 0.01472 moveto
  387. 0.83333 0.01847 lineto
  388. stroke
  389. grestore
  390. gsave
  391. 0.001 setlinewidth
  392. 0.88095 0.01472 moveto
  393. 0.88095 0.01847 lineto
  394. stroke
  395. grestore
  396. gsave
  397. 0.001 setlinewidth
  398. 0.92857 0.01472 moveto
  399. 0.92857 0.01847 lineto
  400. stroke
  401. grestore
  402. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  403. gsave
  404. 0.002 setlinewidth
  405. 0 0.01472 moveto
  406. 1 0.01472 lineto
  407. stroke
  408. grestore
  409. [(Dirac delta function)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotshowa
  410. gsave
  411. 0.002 setlinewidth
  412. 0.5 0.13244 moveto
  413. 0.50625 0.13244 lineto
  414. stroke
  415. grestore
  416. [(0.2)] 0.4875 0.13244 1 0 Mshowa
  417. gsave
  418. 0.002 setlinewidth
  419. 0.5 0.25016 moveto
  420. 0.50625 0.25016 lineto
  421. stroke
  422. grestore
  423. [(0.4)] 0.4875 0.25016 1 0 Mshowa
  424. gsave
  425. 0.002 setlinewidth
  426. 0.5 0.36788 moveto
  427. 0.50625 0.36788 lineto
  428. stroke
  429. grestore
  430. [(0.6)] 0.4875 0.36788 1 0 Mshowa
  431. gsave
  432. 0.002 setlinewidth
  433. 0.5 0.4856 moveto
  434. 0.50625 0.4856 lineto
  435. stroke
  436. grestore
  437. [(0.8)] 0.4875 0.4856 1 0 Mshowa
  438. gsave
  439. 0.002 setlinewidth
  440. 0.5 0.60332 moveto
  441. 0.50625 0.60332 lineto
  442. stroke
  443. grestore
  444. [(1)] 0.4875 0.60332 1 0 Mshowa
  445. gsave
  446. 0.001 setlinewidth
  447. 0.5 0.03826 moveto
  448. 0.50375 0.03826 lineto
  449. stroke
  450. grestore
  451. gsave
  452. 0.001 setlinewidth
  453. 0.5 0.0618 moveto
  454. 0.50375 0.0618 lineto
  455. stroke
  456. grestore
  457. gsave
  458. 0.001 setlinewidth
  459. 0.5 0.08535 moveto
  460. 0.50375 0.08535 lineto
  461. stroke
  462. grestore
  463. gsave
  464. 0.001 setlinewidth
  465. 0.5 0.10889 moveto
  466. 0.50375 0.10889 lineto
  467. stroke
  468. grestore
  469. gsave
  470. 0.001 setlinewidth
  471. 0.5 0.15598 moveto
  472. 0.50375 0.15598 lineto
  473. stroke
  474. grestore
  475. gsave
  476. 0.001 setlinewidth
  477. 0.5 0.17952 moveto
  478. 0.50375 0.17952 lineto
  479. stroke
  480. grestore
  481. gsave
  482. 0.001 setlinewidth
  483. 0.5 0.20307 moveto
  484. 0.50375 0.20307 lineto
  485. stroke
  486. grestore
  487. gsave
  488. 0.001 setlinewidth
  489. 0.5 0.22661 moveto
  490. 0.50375 0.22661 lineto
  491. stroke
  492. grestore
  493. gsave
  494. 0.001 setlinewidth
  495. 0.5 0.2737 moveto
  496. 0.50375 0.2737 lineto
  497. stroke
  498. grestore
  499. gsave
  500. 0.001 setlinewidth
  501. 0.5 0.29724 moveto
  502. 0.50375 0.29724 lineto
  503. stroke
  504. grestore
  505. gsave
  506. 0.001 setlinewidth
  507. 0.5 0.32079 moveto
  508. 0.50375 0.32079 lineto
  509. stroke
  510. grestore
  511. gsave
  512. 0.001 setlinewidth
  513. 0.5 0.34433 moveto
  514. 0.50375 0.34433 lineto
  515. stroke
  516. grestore
  517. gsave
  518. 0.001 setlinewidth
  519. 0.5 0.39142 moveto
  520. 0.50375 0.39142 lineto
  521. stroke
  522. grestore
  523. gsave
  524. 0.001 setlinewidth
  525. 0.5 0.41497 moveto
  526. 0.50375 0.41497 lineto
  527. stroke
  528. grestore
  529. gsave
  530. 0.001 setlinewidth
  531. 0.5 0.43851 moveto
  532. 0.50375 0.43851 lineto
  533. stroke
  534. grestore
  535. gsave
  536. 0.001 setlinewidth
  537. 0.5 0.46205 moveto
  538. 0.50375 0.46205 lineto
  539. stroke
  540. grestore
  541. gsave
  542. 0.001 setlinewidth
  543. 0.5 0.50914 moveto
  544. 0.50375 0.50914 lineto
  545. stroke
  546. grestore
  547. gsave
  548. 0.001 setlinewidth
  549. 0.5 0.53269 moveto
  550. 0.50375 0.53269 lineto
  551. stroke
  552. grestore
  553. gsave
  554. 0.001 setlinewidth
  555. 0.5 0.55623 moveto
  556. 0.50375 0.55623 lineto
  557. stroke
  558. grestore
  559. gsave
  560. 0.001 setlinewidth
  561. 0.5 0.57977 moveto
  562. 0.50375 0.57977 lineto
  563. stroke
  564. grestore
  565. [( )] 0.5 0.61803 0 -4 Mshowa
  566. gsave
  567. 0.002 setlinewidth
  568. 0.5 0 moveto
  569. 0.5 0.61803 lineto
  570. stroke
  571. grestore
  572. grestore
  573. gsave
  574. gsave
  575. gsave
  576. gsave
  577. 0.006 setlinewidth
  578. 0.02381 0.01472 moveto
  579. 0.06349 0.01472 lineto
  580. 0.10317 0.01472 lineto
  581. 0.14286 0.01472 lineto
  582. 0.18254 0.01472 lineto
  583. 0.22222 0.01472 lineto
  584. 0.2619 0.01472 lineto
  585. 0.30159 0.01472 lineto
  586. 0.34127 0.01472 lineto
  587. 0.38095 0.01472 lineto
  588. 0.42063 0.01472 lineto
  589. 0.46032 0.01472 lineto
  590. 0.5 0.01472 lineto
  591. 0.53968 0.01472 lineto
  592. 0.57937 0.01472 lineto
  593. 0.61905 0.01472 lineto
  594. 0.65873 0.01472 lineto
  595. 0.69841 0.01472 lineto
  596. 0.7381 0.01472 lineto
  597. 0.77778 0.01472 lineto
  598. 0.81746 0.01472 lineto
  599. 0.85714 0.01472 lineto
  600. 0.89683 0.01472 lineto
  601. 0.93651 0.01472 lineto
  602. 0.97619 0.01472 lineto
  603. stroke
  604. grestore
  605. grestore
  606. grestore
  607. gsave
  608. 0.004 setlinewidth
  609. 0.7381 0.01472 moveto
  610. 0.7381 0.60332 lineto
  611. 0.69048 0.42674 lineto
  612. 0.78571 0.42674 lineto
  613. 0.7381 0.60332 lineto
  614. stroke
  615. grestore
  616. grestore
  617. 0 0 moveto
  618. 1 0 lineto
  619. 1 0.61803 lineto
  620. 0 0.61803 lineto
  621. closepath
  622. clip
  623. newpath
  624. % End of Graphics
  625. MathPictureEnd
  626. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; ]
  627. The Unformatted text for this cell was not generated.
  628. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  629. when Unformatted text is generated.
  630. ;[o]
  631. -Graphics-
  632. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  633. Pulse Signal
  634. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  635. CPulse[l,t] defines a pulse which begins at t=0 and ends at t = l. The CPulse has value 1 within the range (0,l), 0 outside this range, and 1/2 at the points t=0 and t=l. A continuous-pulse center at the origin is written as CPulse[l, t + l/2] or Shift[-l/2,t][CPulse[l, t]].
  636. ;[s]
  637. 7:0,0;12,1;70,2;78,3;224,4;244,5;246,6;276,-1;
  638. 7:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  639. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  640. SignalPlot[CPulse[1,t],{t,-1,2},PlotLabel->"Pulse Signal"]
  641. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  642. %!
  643. %%Creator: Mathematica
  644. %%AspectRatio: 0.61803 
  645. MathPictureStart
  646. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  647. % Scaling calculations
  648. 0.34127 0.31746 0.014715 0.588604 [
  649. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Msboxa
  650. [(-0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  651. [(0.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  652. [(1)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  653. [(1.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  654. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  655. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  656. [(Pulse Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotsboxa
  657. [(0.2)] 0.32877 0.13244 1 0 Msboxa
  658. [(0.4)] 0.32877 0.25016 1 0 Msboxa
  659. [(0.6)] 0.32877 0.36788 1 0 Msboxa
  660. [(0.8)] 0.32877 0.4856 1 0 Msboxa
  661. [(1)] 0.32877 0.60332 1 0 Msboxa
  662. [( )] 0.34127 0.61803 0 -4 Msboxa
  663. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  664. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  665. ] MathScale
  666. % Start of Graphics
  667. 1 setlinecap
  668. 1 setlinejoin
  669. newpath
  670. %%Object: Graphics
  671. [ ] 0 setdash
  672. 0 setgray
  673. gsave
  674. gsave
  675. 0.002 setlinewidth
  676. 0.02381 0.01472 moveto
  677. 0.02381 0.02097 lineto
  678. stroke
  679. grestore
  680. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Mshowa
  681. gsave
  682. 0.002 setlinewidth
  683. 0.18254 0.01472 moveto
  684. 0.18254 0.02097 lineto
  685. stroke
  686. grestore
  687. [(-0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  688. gsave
  689. 0.002 setlinewidth
  690. 0.5 0.01472 moveto
  691. 0.5 0.02097 lineto
  692. stroke
  693. grestore
  694. [(0.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  695. gsave
  696. 0.002 setlinewidth
  697. 0.65873 0.01472 moveto
  698. 0.65873 0.02097 lineto
  699. stroke
  700. grestore
  701. [(1)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  702. gsave
  703. 0.002 setlinewidth
  704. 0.81746 0.01472 moveto
  705. 0.81746 0.02097 lineto
  706. stroke
  707. grestore
  708. [(1.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  709. gsave
  710. 0.002 setlinewidth
  711. 0.97619 0.01472 moveto
  712. 0.97619 0.02097 lineto
  713. stroke
  714. grestore
  715. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  716. gsave
  717. 0.001 setlinewidth
  718. 0.05556 0.01472 moveto
  719. 0.05556 0.01847 lineto
  720. stroke
  721. grestore
  722. gsave
  723. 0.001 setlinewidth
  724. 0.0873 0.01472 moveto
  725. 0.0873 0.01847 lineto
  726. stroke
  727. grestore
  728. gsave
  729. 0.001 setlinewidth
  730. 0.11905 0.01472 moveto
  731. 0.11905 0.01847 lineto
  732. stroke
  733. grestore
  734. gsave
  735. 0.001 setlinewidth
  736. 0.15079 0.01472 moveto
  737. 0.15079 0.01847 lineto
  738. stroke
  739. grestore
  740. gsave
  741. 0.001 setlinewidth
  742. 0.21429 0.01472 moveto
  743. 0.21429 0.01847 lineto
  744. stroke
  745. grestore
  746. gsave
  747. 0.001 setlinewidth
  748. 0.24603 0.01472 moveto
  749. 0.24603 0.01847 lineto
  750. stroke
  751. grestore
  752. gsave
  753. 0.001 setlinewidth
  754. 0.27778 0.01472 moveto
  755. 0.27778 0.01847 lineto
  756. stroke
  757. grestore
  758. gsave
  759. 0.001 setlinewidth
  760. 0.30952 0.01472 moveto
  761. 0.30952 0.01847 lineto
  762. stroke
  763. grestore
  764. gsave
  765. 0.001 setlinewidth
  766. 0.37302 0.01472 moveto
  767. 0.37302 0.01847 lineto
  768. stroke
  769. grestore
  770. gsave
  771. 0.001 setlinewidth
  772. 0.40476 0.01472 moveto
  773. 0.40476 0.01847 lineto
  774. stroke
  775. grestore
  776. gsave
  777. 0.001 setlinewidth
  778. 0.43651 0.01472 moveto
  779. 0.43651 0.01847 lineto
  780. stroke
  781. grestore
  782. gsave
  783. 0.001 setlinewidth
  784. 0.46825 0.01472 moveto
  785. 0.46825 0.01847 lineto
  786. stroke
  787. grestore
  788. gsave
  789. 0.001 setlinewidth
  790. 0.53175 0.01472 moveto
  791. 0.53175 0.01847 lineto
  792. stroke
  793. grestore
  794. gsave
  795. 0.001 setlinewidth
  796. 0.56349 0.01472 moveto
  797. 0.56349 0.01847 lineto
  798. stroke
  799. grestore
  800. gsave
  801. 0.001 setlinewidth
  802. 0.59524 0.01472 moveto
  803. 0.59524 0.01847 lineto
  804. stroke
  805. grestore
  806. gsave
  807. 0.001 setlinewidth
  808. 0.62698 0.01472 moveto
  809. 0.62698 0.01847 lineto
  810. stroke
  811. grestore
  812. gsave
  813. 0.001 setlinewidth
  814. 0.69048 0.01472 moveto
  815. 0.69048 0.01847 lineto
  816. stroke
  817. grestore
  818. gsave
  819. 0.001 setlinewidth
  820. 0.72222 0.01472 moveto
  821. 0.72222 0.01847 lineto
  822. stroke
  823. grestore
  824. gsave
  825. 0.001 setlinewidth
  826. 0.75397 0.01472 moveto
  827. 0.75397 0.01847 lineto
  828. stroke
  829. grestore
  830. gsave
  831. 0.001 setlinewidth
  832. 0.78571 0.01472 moveto
  833. 0.78571 0.01847 lineto
  834. stroke
  835. grestore
  836. gsave
  837. 0.001 setlinewidth
  838. 0.84921 0.01472 moveto
  839. 0.84921 0.01847 lineto
  840. stroke
  841. grestore
  842. gsave
  843. 0.001 setlinewidth
  844. 0.88095 0.01472 moveto
  845. 0.88095 0.01847 lineto
  846. stroke
  847. grestore
  848. gsave
  849. 0.001 setlinewidth
  850. 0.9127 0.01472 moveto
  851. 0.9127 0.01847 lineto
  852. stroke
  853. grestore
  854. gsave
  855. 0.001 setlinewidth
  856. 0.94444 0.01472 moveto
  857. 0.94444 0.01847 lineto
  858. stroke
  859. grestore
  860. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  861. gsave
  862. 0.002 setlinewidth
  863. 0 0.01472 moveto
  864. 1 0.01472 lineto
  865. stroke
  866. grestore
  867. [(Pulse Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotshowa
  868. gsave
  869. 0.002 setlinewidth
  870. 0.34127 0.13244 moveto
  871. 0.34752 0.13244 lineto
  872. stroke
  873. grestore
  874. [(0.2)] 0.32877 0.13244 1 0 Mshowa
  875. gsave
  876. 0.002 setlinewidth
  877. 0.34127 0.25016 moveto
  878. 0.34752 0.25016 lineto
  879. stroke
  880. grestore
  881. [(0.4)] 0.32877 0.25016 1 0 Mshowa
  882. gsave
  883. 0.002 setlinewidth
  884. 0.34127 0.36788 moveto
  885. 0.34752 0.36788 lineto
  886. stroke
  887. grestore
  888. [(0.6)] 0.32877 0.36788 1 0 Mshowa
  889. gsave
  890. 0.002 setlinewidth
  891. 0.34127 0.4856 moveto
  892. 0.34752 0.4856 lineto
  893. stroke
  894. grestore
  895. [(0.8)] 0.32877 0.4856 1 0 Mshowa
  896. gsave
  897. 0.002 setlinewidth
  898. 0.34127 0.60332 moveto
  899. 0.34752 0.60332 lineto
  900. stroke
  901. grestore
  902. [(1)] 0.32877 0.60332 1 0 Mshowa
  903. gsave
  904. 0.001 setlinewidth
  905. 0.34127 0.03826 moveto
  906. 0.34502 0.03826 lineto
  907. stroke
  908. grestore
  909. gsave
  910. 0.001 setlinewidth
  911. 0.34127 0.0618 moveto
  912. 0.34502 0.0618 lineto
  913. stroke
  914. grestore
  915. gsave
  916. 0.001 setlinewidth
  917. 0.34127 0.08535 moveto
  918. 0.34502 0.08535 lineto
  919. stroke
  920. grestore
  921. gsave
  922. 0.001 setlinewidth
  923. 0.34127 0.10889 moveto
  924. 0.34502 0.10889 lineto
  925. stroke
  926. grestore
  927. gsave
  928. 0.001 setlinewidth
  929. 0.34127 0.15598 moveto
  930. 0.34502 0.15598 lineto
  931. stroke
  932. grestore
  933. gsave
  934. 0.001 setlinewidth
  935. 0.34127 0.17952 moveto
  936. 0.34502 0.17952 lineto
  937. stroke
  938. grestore
  939. gsave
  940. 0.001 setlinewidth
  941. 0.34127 0.20307 moveto
  942. 0.34502 0.20307 lineto
  943. stroke
  944. grestore
  945. gsave
  946. 0.001 setlinewidth
  947. 0.34127 0.22661 moveto
  948. 0.34502 0.22661 lineto
  949. stroke
  950. grestore
  951. gsave
  952. 0.001 setlinewidth
  953. 0.34127 0.2737 moveto
  954. 0.34502 0.2737 lineto
  955. stroke
  956. grestore
  957. gsave
  958. 0.001 setlinewidth
  959. 0.34127 0.29724 moveto
  960. 0.34502 0.29724 lineto
  961. stroke
  962. grestore
  963. gsave
  964. 0.001 setlinewidth
  965. 0.34127 0.32079 moveto
  966. 0.34502 0.32079 lineto
  967. stroke
  968. grestore
  969. gsave
  970. 0.001 setlinewidth
  971. 0.34127 0.34433 moveto
  972. 0.34502 0.34433 lineto
  973. stroke
  974. grestore
  975. gsave
  976. 0.001 setlinewidth
  977. 0.34127 0.39142 moveto
  978. 0.34502 0.39142 lineto
  979. stroke
  980. grestore
  981. gsave
  982. 0.001 setlinewidth
  983. 0.34127 0.41497 moveto
  984. 0.34502 0.41497 lineto
  985. stroke
  986. grestore
  987. gsave
  988. 0.001 setlinewidth
  989. 0.34127 0.43851 moveto
  990. 0.34502 0.43851 lineto
  991. stroke
  992. grestore
  993. gsave
  994. 0.001 setlinewidth
  995. 0.34127 0.46205 moveto
  996. 0.34502 0.46205 lineto
  997. stroke
  998. grestore
  999. gsave
  1000. 0.001 setlinewidth
  1001. 0.34127 0.50914 moveto
  1002. 0.34502 0.50914 lineto
  1003. stroke
  1004. grestore
  1005. gsave
  1006. 0.001 setlinewidth
  1007. 0.34127 0.53269 moveto
  1008. 0.34502 0.53269 lineto
  1009. stroke
  1010. grestore
  1011. gsave
  1012. 0.001 setlinewidth
  1013. 0.34127 0.55623 moveto
  1014. 0.34502 0.55623 lineto
  1015. stroke
  1016. grestore
  1017. gsave
  1018. 0.001 setlinewidth
  1019. 0.34127 0.57977 moveto
  1020. 0.34502 0.57977 lineto
  1021. stroke
  1022. grestore
  1023. [( )] 0.34127 0.61803 0 -4 Mshowa
  1024. gsave
  1025. 0.002 setlinewidth
  1026. 0.34127 0 moveto
  1027. 0.34127 0.61803 lineto
  1028. stroke
  1029. grestore
  1030. grestore
  1031. gsave
  1032. gsave
  1033. gsave
  1034. 0.006 setlinewidth
  1035. 0.02381 0.01472 moveto
  1036. 0.06349 0.01472 lineto
  1037. 0.10317 0.01472 lineto
  1038. 0.14286 0.01472 lineto
  1039. 0.18254 0.01472 lineto
  1040. 0.22222 0.01472 lineto
  1041. 0.2619 0.01472 lineto
  1042. 0.28175 0.01472 lineto
  1043. 0.30159 0.01472 lineto
  1044. 0.31151 0.01472 lineto
  1045. 0.32143 0.01472 lineto
  1046. 0.32639 0.01472 lineto
  1047. 0.33135 0.01472 lineto
  1048. 0.33383 0.01472 lineto
  1049. 0.33631 0.01472 lineto
  1050. 0.33755 0.01472 lineto
  1051. 0.33879 0.01472 lineto
  1052. 0.34127 0.30902 lineto
  1053. 0.34251 0.60332 lineto
  1054. 0.34375 0.60332 lineto
  1055. 0.34623 0.60332 lineto
  1056. 0.35119 0.60332 lineto
  1057. 0.36111 0.60332 lineto
  1058. 0.38095 0.60332 lineto
  1059. 0.42063 0.60332 lineto
  1060. 0.46032 0.60332 lineto
  1061. 0.5 0.60332 lineto
  1062. 0.53968 0.60332 lineto
  1063. 0.57937 0.60332 lineto
  1064. 0.59921 0.60332 lineto
  1065. 0.61905 0.60332 lineto
  1066. 0.62897 0.60332 lineto
  1067. 0.63889 0.60332 lineto
  1068. 0.64385 0.60332 lineto
  1069. 0.64881 0.60332 lineto
  1070. 0.65129 0.60332 lineto
  1071. 0.65377 0.60332 lineto
  1072. 0.65501 0.60332 lineto
  1073. 0.65625 0.60332 lineto
  1074. 0.65873 0.30902 lineto
  1075. 0.65997 0.01472 lineto
  1076. 0.66121 0.01472 lineto
  1077. 0.66369 0.01472 lineto
  1078. 0.66865 0.01472 lineto
  1079. 0.67857 0.01472 lineto
  1080. 0.69841 0.01472 lineto
  1081. 0.7381 0.01472 lineto
  1082. 0.77778 0.01472 lineto
  1083. 0.81746 0.01472 lineto
  1084. 0.85714 0.01472 lineto
  1085. Mistroke
  1086. 0.89683 0.01472 lineto
  1087. 0.93651 0.01472 lineto
  1088. 0.97619 0.01472 lineto
  1089. Mfstroke
  1090. grestore
  1091. grestore
  1092. gsave
  1093. [ 0.05 0.05 ] 0 setdash
  1094. gsave
  1095. 0.004 setlinewidth
  1096. 0.02381 0.01472 moveto
  1097. 0.06349 0.01472 lineto
  1098. 0.10317 0.01472 lineto
  1099. 0.14286 0.01472 lineto
  1100. 0.18254 0.01472 lineto
  1101. 0.22222 0.01472 lineto
  1102. 0.2619 0.01472 lineto
  1103. 0.30159 0.01472 lineto
  1104. 0.34127 0.01472 lineto
  1105. 0.38095 0.01472 lineto
  1106. 0.42063 0.01472 lineto
  1107. 0.46032 0.01472 lineto
  1108. 0.5 0.01472 lineto
  1109. 0.53968 0.01472 lineto
  1110. 0.57937 0.01472 lineto
  1111. 0.61905 0.01472 lineto
  1112. 0.65873 0.01472 lineto
  1113. 0.69841 0.01472 lineto
  1114. 0.7381 0.01472 lineto
  1115. 0.77778 0.01472 lineto
  1116. 0.81746 0.01472 lineto
  1117. 0.85714 0.01472 lineto
  1118. 0.89683 0.01472 lineto
  1119. 0.93651 0.01472 lineto
  1120. 0.97619 0.01472 lineto
  1121. stroke
  1122. grestore
  1123. grestore
  1124. grestore
  1125. 0 0 moveto
  1126. 1 0 lineto
  1127. 1 0.61803 lineto
  1128. 0 0.61803 lineto
  1129. closepath
  1130. clip
  1131. newpath
  1132. % End of Graphics
  1133. MathPictureEnd
  1134. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; ]
  1135. The Unformatted text for this cell was not generated.
  1136. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  1137. when Unformatted text is generated.
  1138. ;[o]
  1139. -Graphics-
  1140. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  1141.  
  1142. SignalPlot[CPulse[1,t+1/2],{t,-1,2},PlotLabel->
  1143. "Shifted Pulse Signal"]
  1144. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  1145. %!
  1146. %%Creator: Mathematica
  1147. %%AspectRatio: 0.61803 
  1148. MathPictureStart
  1149. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  1150. % Scaling calculations
  1151. 0.34127 0.31746 0.014715 0.588604 [
  1152. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Msboxa
  1153. [(-0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Msboxa
  1154. [(0.5)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  1155. [(1)] 0.65873 0.01472 0 2 Msboxa
  1156. [(1.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Msboxa
  1157. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  1158. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  1159. [(Shifted Pulse Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotsboxa
  1160. [(0.2)] 0.32877 0.13244 1 0 Msboxa
  1161. [(0.4)] 0.32877 0.25016 1 0 Msboxa
  1162. [(0.6)] 0.32877 0.36788 1 0 Msboxa
  1163. [(0.8)] 0.32877 0.4856 1 0 Msboxa
  1164. [(1)] 0.32877 0.60332 1 0 Msboxa
  1165. [( )] 0.34127 0.61803 0 -4 Msboxa
  1166. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  1167. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  1168. ] MathScale
  1169. % Start of Graphics
  1170. 1 setlinecap
  1171. 1 setlinejoin
  1172. newpath
  1173. %%Object: Graphics
  1174. [ ] 0 setdash
  1175. 0 setgray
  1176. gsave
  1177. gsave
  1178. 0.002 setlinewidth
  1179. 0.02381 0.01472 moveto
  1180. 0.02381 0.02097 lineto
  1181. stroke
  1182. grestore
  1183. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Mshowa
  1184. gsave
  1185. 0.002 setlinewidth
  1186. 0.18254 0.01472 moveto
  1187. 0.18254 0.02097 lineto
  1188. stroke
  1189. grestore
  1190. [(-0.5)] 0.18254 0.01472 0 2 Mshowa
  1191. gsave
  1192. 0.002 setlinewidth
  1193. 0.5 0.01472 moveto
  1194. 0.5 0.02097 lineto
  1195. stroke
  1196. grestore
  1197. [(0.5)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  1198. gsave
  1199. 0.002 setlinewidth
  1200. 0.65873 0.01472 moveto
  1201. 0.65873 0.02097 lineto
  1202. stroke
  1203. grestore
  1204. [(1)] 0.65873 0.01472 0 2 Mshowa
  1205. gsave
  1206. 0.002 setlinewidth
  1207. 0.81746 0.01472 moveto
  1208. 0.81746 0.02097 lineto
  1209. stroke
  1210. grestore
  1211. [(1.5)] 0.81746 0.01472 0 2 Mshowa
  1212. gsave
  1213. 0.002 setlinewidth
  1214. 0.97619 0.01472 moveto
  1215. 0.97619 0.02097 lineto
  1216. stroke
  1217. grestore
  1218. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  1219. gsave
  1220. 0.001 setlinewidth
  1221. 0.05556 0.01472 moveto
  1222. 0.05556 0.01847 lineto
  1223. stroke
  1224. grestore
  1225. gsave
  1226. 0.001 setlinewidth
  1227. 0.0873 0.01472 moveto
  1228. 0.0873 0.01847 lineto
  1229. stroke
  1230. grestore
  1231. gsave
  1232. 0.001 setlinewidth
  1233. 0.11905 0.01472 moveto
  1234. 0.11905 0.01847 lineto
  1235. stroke
  1236. grestore
  1237. gsave
  1238. 0.001 setlinewidth
  1239. 0.15079 0.01472 moveto
  1240. 0.15079 0.01847 lineto
  1241. stroke
  1242. grestore
  1243. gsave
  1244. 0.001 setlinewidth
  1245. 0.21429 0.01472 moveto
  1246. 0.21429 0.01847 lineto
  1247. stroke
  1248. grestore
  1249. gsave
  1250. 0.001 setlinewidth
  1251. 0.24603 0.01472 moveto
  1252. 0.24603 0.01847 lineto
  1253. stroke
  1254. grestore
  1255. gsave
  1256. 0.001 setlinewidth
  1257. 0.27778 0.01472 moveto
  1258. 0.27778 0.01847 lineto
  1259. stroke
  1260. grestore
  1261. gsave
  1262. 0.001 setlinewidth
  1263. 0.30952 0.01472 moveto
  1264. 0.30952 0.01847 lineto
  1265. stroke
  1266. grestore
  1267. gsave
  1268. 0.001 setlinewidth
  1269. 0.37302 0.01472 moveto
  1270. 0.37302 0.01847 lineto
  1271. stroke
  1272. grestore
  1273. gsave
  1274. 0.001 setlinewidth
  1275. 0.40476 0.01472 moveto
  1276. 0.40476 0.01847 lineto
  1277. stroke
  1278. grestore
  1279. gsave
  1280. 0.001 setlinewidth
  1281. 0.43651 0.01472 moveto
  1282. 0.43651 0.01847 lineto
  1283. stroke
  1284. grestore
  1285. gsave
  1286. 0.001 setlinewidth
  1287. 0.46825 0.01472 moveto
  1288. 0.46825 0.01847 lineto
  1289. stroke
  1290. grestore
  1291. gsave
  1292. 0.001 setlinewidth
  1293. 0.53175 0.01472 moveto
  1294. 0.53175 0.01847 lineto
  1295. stroke
  1296. grestore
  1297. gsave
  1298. 0.001 setlinewidth
  1299. 0.56349 0.01472 moveto
  1300. 0.56349 0.01847 lineto
  1301. stroke
  1302. grestore
  1303. gsave
  1304. 0.001 setlinewidth
  1305. 0.59524 0.01472 moveto
  1306. 0.59524 0.01847 lineto
  1307. stroke
  1308. grestore
  1309. gsave
  1310. 0.001 setlinewidth
  1311. 0.62698 0.01472 moveto
  1312. 0.62698 0.01847 lineto
  1313. stroke
  1314. grestore
  1315. gsave
  1316. 0.001 setlinewidth
  1317. 0.69048 0.01472 moveto
  1318. 0.69048 0.01847 lineto
  1319. stroke
  1320. grestore
  1321. gsave
  1322. 0.001 setlinewidth
  1323. 0.72222 0.01472 moveto
  1324. 0.72222 0.01847 lineto
  1325. stroke
  1326. grestore
  1327. gsave
  1328. 0.001 setlinewidth
  1329. 0.75397 0.01472 moveto
  1330. 0.75397 0.01847 lineto
  1331. stroke
  1332. grestore
  1333. gsave
  1334. 0.001 setlinewidth
  1335. 0.78571 0.01472 moveto
  1336. 0.78571 0.01847 lineto
  1337. stroke
  1338. grestore
  1339. gsave
  1340. 0.001 setlinewidth
  1341. 0.84921 0.01472 moveto
  1342. 0.84921 0.01847 lineto
  1343. stroke
  1344. grestore
  1345. gsave
  1346. 0.001 setlinewidth
  1347. 0.88095 0.01472 moveto
  1348. 0.88095 0.01847 lineto
  1349. stroke
  1350. grestore
  1351. gsave
  1352. 0.001 setlinewidth
  1353. 0.9127 0.01472 moveto
  1354. 0.9127 0.01847 lineto
  1355. stroke
  1356. grestore
  1357. gsave
  1358. 0.001 setlinewidth
  1359. 0.94444 0.01472 moveto
  1360. 0.94444 0.01847 lineto
  1361. stroke
  1362. grestore
  1363. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  1364. gsave
  1365. 0.002 setlinewidth
  1366. 0 0.01472 moveto
  1367. 1 0.01472 lineto
  1368. stroke
  1369. grestore
  1370. [(Shifted Pulse Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotshowa
  1371. gsave
  1372. 0.002 setlinewidth
  1373. 0.34127 0.13244 moveto
  1374. 0.34752 0.13244 lineto
  1375. stroke
  1376. grestore
  1377. [(0.2)] 0.32877 0.13244 1 0 Mshowa
  1378. gsave
  1379. 0.002 setlinewidth
  1380. 0.34127 0.25016 moveto
  1381. 0.34752 0.25016 lineto
  1382. stroke
  1383. grestore
  1384. [(0.4)] 0.32877 0.25016 1 0 Mshowa
  1385. gsave
  1386. 0.002 setlinewidth
  1387. 0.34127 0.36788 moveto
  1388. 0.34752 0.36788 lineto
  1389. stroke
  1390. grestore
  1391. [(0.6)] 0.32877 0.36788 1 0 Mshowa
  1392. gsave
  1393. 0.002 setlinewidth
  1394. 0.34127 0.4856 moveto
  1395. 0.34752 0.4856 lineto
  1396. stroke
  1397. grestore
  1398. [(0.8)] 0.32877 0.4856 1 0 Mshowa
  1399. gsave
  1400. 0.002 setlinewidth
  1401. 0.34127 0.60332 moveto
  1402. 0.34752 0.60332 lineto
  1403. stroke
  1404. grestore
  1405. [(1)] 0.32877 0.60332 1 0 Mshowa
  1406. gsave
  1407. 0.001 setlinewidth
  1408. 0.34127 0.03826 moveto
  1409. 0.34502 0.03826 lineto
  1410. stroke
  1411. grestore
  1412. gsave
  1413. 0.001 setlinewidth
  1414. 0.34127 0.0618 moveto
  1415. 0.34502 0.0618 lineto
  1416. stroke
  1417. grestore
  1418. gsave
  1419. 0.001 setlinewidth
  1420. 0.34127 0.08535 moveto
  1421. 0.34502 0.08535 lineto
  1422. stroke
  1423. grestore
  1424. gsave
  1425. 0.001 setlinewidth
  1426. 0.34127 0.10889 moveto
  1427. 0.34502 0.10889 lineto
  1428. stroke
  1429. grestore
  1430. gsave
  1431. 0.001 setlinewidth
  1432. 0.34127 0.15598 moveto
  1433. 0.34502 0.15598 lineto
  1434. stroke
  1435. grestore
  1436. gsave
  1437. 0.001 setlinewidth
  1438. 0.34127 0.17952 moveto
  1439. 0.34502 0.17952 lineto
  1440. stroke
  1441. grestore
  1442. gsave
  1443. 0.001 setlinewidth
  1444. 0.34127 0.20307 moveto
  1445. 0.34502 0.20307 lineto
  1446. stroke
  1447. grestore
  1448. gsave
  1449. 0.001 setlinewidth
  1450. 0.34127 0.22661 moveto
  1451. 0.34502 0.22661 lineto
  1452. stroke
  1453. grestore
  1454. gsave
  1455. 0.001 setlinewidth
  1456. 0.34127 0.2737 moveto
  1457. 0.34502 0.2737 lineto
  1458. stroke
  1459. grestore
  1460. gsave
  1461. 0.001 setlinewidth
  1462. 0.34127 0.29724 moveto
  1463. 0.34502 0.29724 lineto
  1464. stroke
  1465. grestore
  1466. gsave
  1467. 0.001 setlinewidth
  1468. 0.34127 0.32079 moveto
  1469. 0.34502 0.32079 lineto
  1470. stroke
  1471. grestore
  1472. gsave
  1473. 0.001 setlinewidth
  1474. 0.34127 0.34433 moveto
  1475. 0.34502 0.34433 lineto
  1476. stroke
  1477. grestore
  1478. gsave
  1479. 0.001 setlinewidth
  1480. 0.34127 0.39142 moveto
  1481. 0.34502 0.39142 lineto
  1482. stroke
  1483. grestore
  1484. gsave
  1485. 0.001 setlinewidth
  1486. 0.34127 0.41497 moveto
  1487. 0.34502 0.41497 lineto
  1488. stroke
  1489. grestore
  1490. gsave
  1491. 0.001 setlinewidth
  1492. 0.34127 0.43851 moveto
  1493. 0.34502 0.43851 lineto
  1494. stroke
  1495. grestore
  1496. gsave
  1497. 0.001 setlinewidth
  1498. 0.34127 0.46205 moveto
  1499. 0.34502 0.46205 lineto
  1500. stroke
  1501. grestore
  1502. gsave
  1503. 0.001 setlinewidth
  1504. 0.34127 0.50914 moveto
  1505. 0.34502 0.50914 lineto
  1506. stroke
  1507. grestore
  1508. gsave
  1509. 0.001 setlinewidth
  1510. 0.34127 0.53269 moveto
  1511. 0.34502 0.53269 lineto
  1512. stroke
  1513. grestore
  1514. gsave
  1515. 0.001 setlinewidth
  1516. 0.34127 0.55623 moveto
  1517. 0.34502 0.55623 lineto
  1518. stroke
  1519. grestore
  1520. gsave
  1521. 0.001 setlinewidth
  1522. 0.34127 0.57977 moveto
  1523. 0.34502 0.57977 lineto
  1524. stroke
  1525. grestore
  1526. [( )] 0.34127 0.61803 0 -4 Mshowa
  1527. gsave
  1528. 0.002 setlinewidth
  1529. 0.34127 0 moveto
  1530. 0.34127 0.61803 lineto
  1531. stroke
  1532. grestore
  1533. grestore
  1534. gsave
  1535. gsave
  1536. gsave
  1537. 0.006 setlinewidth
  1538. 0.02381 0.01472 moveto
  1539. 0.06349 0.01472 lineto
  1540. 0.10317 0.01472 lineto
  1541. 0.12302 0.01472 lineto
  1542. 0.14286 0.01472 lineto
  1543. 0.15278 0.01472 lineto
  1544. 0.1627 0.01472 lineto
  1545. 0.16766 0.01472 lineto
  1546. 0.17262 0.01472 lineto
  1547. 0.1751 0.01472 lineto
  1548. 0.17758 0.01472 lineto
  1549. 0.17882 0.01472 lineto
  1550. 0.18006 0.01472 lineto
  1551. 0.18254 0.30902 lineto
  1552. 0.18378 0.60332 lineto
  1553. 0.18502 0.60332 lineto
  1554. 0.1875 0.60332 lineto
  1555. 0.19246 0.60332 lineto
  1556. 0.20238 0.60332 lineto
  1557. 0.22222 0.60332 lineto
  1558. 0.2619 0.60332 lineto
  1559. 0.30159 0.60332 lineto
  1560. 0.34127 0.60332 lineto
  1561. 0.38095 0.60332 lineto
  1562. 0.42063 0.60332 lineto
  1563. 0.44048 0.60332 lineto
  1564. 0.46032 0.60332 lineto
  1565. 0.47024 0.60332 lineto
  1566. 0.48016 0.60332 lineto
  1567. 0.48512 0.60332 lineto
  1568. 0.49008 0.60332 lineto
  1569. 0.49256 0.60332 lineto
  1570. 0.49504 0.60332 lineto
  1571. 0.49628 0.60332 lineto
  1572. 0.49752 0.60332 lineto
  1573. 0.5 0.30902 lineto
  1574. 0.50124 0.01472 lineto
  1575. 0.50248 0.01472 lineto
  1576. 0.50496 0.01472 lineto
  1577. 0.50992 0.01472 lineto
  1578. 0.51984 0.01472 lineto
  1579. 0.53968 0.01472 lineto
  1580. 0.57937 0.01472 lineto
  1581. 0.61905 0.01472 lineto
  1582. 0.65873 0.01472 lineto
  1583. 0.69841 0.01472 lineto
  1584. 0.7381 0.01472 lineto
  1585. 0.77778 0.01472 lineto
  1586. 0.81746 0.01472 lineto
  1587. 0.85714 0.01472 lineto
  1588. Mistroke
  1589. 0.89683 0.01472 lineto
  1590. 0.93651 0.01472 lineto
  1591. 0.97619 0.01472 lineto
  1592. Mfstroke
  1593. grestore
  1594. grestore
  1595. gsave
  1596. [ 0.05 0.05 ] 0 setdash
  1597. gsave
  1598. 0.004 setlinewidth
  1599. 0.02381 0.01472 moveto
  1600. 0.06349 0.01472 lineto
  1601. 0.10317 0.01472 lineto
  1602. 0.14286 0.01472 lineto
  1603. 0.18254 0.01472 lineto
  1604. 0.22222 0.01472 lineto
  1605. 0.2619 0.01472 lineto
  1606. 0.30159 0.01472 lineto
  1607. 0.34127 0.01472 lineto
  1608. 0.38095 0.01472 lineto
  1609. 0.42063 0.01472 lineto
  1610. 0.46032 0.01472 lineto
  1611. 0.5 0.01472 lineto
  1612. 0.53968 0.01472 lineto
  1613. 0.57937 0.01472 lineto
  1614. 0.61905 0.01472 lineto
  1615. 0.65873 0.01472 lineto
  1616. 0.69841 0.01472 lineto
  1617. 0.7381 0.01472 lineto
  1618. 0.77778 0.01472 lineto
  1619. 0.81746 0.01472 lineto
  1620. 0.85714 0.01472 lineto
  1621. 0.89683 0.01472 lineto
  1622. 0.93651 0.01472 lineto
  1623. 0.97619 0.01472 lineto
  1624. stroke
  1625. grestore
  1626. grestore
  1627. grestore
  1628. 0 0 moveto
  1629. 1 0 lineto
  1630. 1 0.61803 lineto
  1631. 0 0.61803 lineto
  1632. closepath
  1633. clip
  1634. newpath
  1635. % End of Graphics
  1636. MathPictureEnd
  1637. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; ]
  1638. The Unformatted text for this cell was not generated.
  1639. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  1640. when Unformatted text is generated.
  1641. ;[o]
  1642. -Graphics-
  1643. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  1644. Step Signal
  1645. :[font = info; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; ]
  1646. CStep[t], a.k.a. Unit[-1][t], is the unit step function which is 1 for t
  1647.    > 0, 0 for t < 0, and 1/2 at t = 0. It is commonly used for
  1648.    continuous expressions t. See also Step and Unit.
  1649. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  1650. SignalPlot[CStep[t],{t,-1,3},PlotLabel->"Step Signal"]
  1651. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  1652. %!
  1653. %%Creator: Mathematica
  1654. %%AspectRatio: 0.61803 
  1655. MathPictureStart
  1656. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  1657. % Scaling calculations
  1658. 0.261905 0.238095 0.014715 0.588604 [
  1659. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Msboxa
  1660. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  1661. [(2)] 0.7381 0.01472 0 2 Msboxa
  1662. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  1663. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  1664. [(Step Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotsboxa
  1665. [(0.2)] 0.2494 0.13244 1 0 Msboxa
  1666. [(0.4)] 0.2494 0.25016 1 0 Msboxa
  1667. [(0.6)] 0.2494 0.36788 1 0 Msboxa
  1668. [(0.8)] 0.2494 0.4856 1 0 Msboxa
  1669. [(1)] 0.2494 0.60332 1 0 Msboxa
  1670. [( )] 0.2619 0.61803 0 -4 Msboxa
  1671. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  1672. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  1673. ] MathScale
  1674. % Start of Graphics
  1675. 1 setlinecap
  1676. 1 setlinejoin
  1677. newpath
  1678. %%Object: Graphics
  1679. [ ] 0 setdash
  1680. 0 setgray
  1681. gsave
  1682. gsave
  1683. 0.002 setlinewidth
  1684. 0.02381 0.01472 moveto
  1685. 0.02381 0.02097 lineto
  1686. stroke
  1687. grestore
  1688. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Mshowa
  1689. gsave
  1690. 0.002 setlinewidth
  1691. 0.5 0.01472 moveto
  1692. 0.5 0.02097 lineto
  1693. stroke
  1694. grestore
  1695. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  1696. gsave
  1697. 0.002 setlinewidth
  1698. 0.7381 0.01472 moveto
  1699. 0.7381 0.02097 lineto
  1700. stroke
  1701. grestore
  1702. [(2)] 0.7381 0.01472 0 2 Mshowa
  1703. gsave
  1704. 0.002 setlinewidth
  1705. 0.97619 0.01472 moveto
  1706. 0.97619 0.02097 lineto
  1707. stroke
  1708. grestore
  1709. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  1710. gsave
  1711. 0.001 setlinewidth
  1712. 0.07143 0.01472 moveto
  1713. 0.07143 0.01847 lineto
  1714. stroke
  1715. grestore
  1716. gsave
  1717. 0.001 setlinewidth
  1718. 0.11905 0.01472 moveto
  1719. 0.11905 0.01847 lineto
  1720. stroke
  1721. grestore
  1722. gsave
  1723. 0.001 setlinewidth
  1724. 0.16667 0.01472 moveto
  1725. 0.16667 0.01847 lineto
  1726. stroke
  1727. grestore
  1728. gsave
  1729. 0.001 setlinewidth
  1730. 0.21429 0.01472 moveto
  1731. 0.21429 0.01847 lineto
  1732. stroke
  1733. grestore
  1734. gsave
  1735. 0.001 setlinewidth
  1736. 0.30952 0.01472 moveto
  1737. 0.30952 0.01847 lineto
  1738. stroke
  1739. grestore
  1740. gsave
  1741. 0.001 setlinewidth
  1742. 0.35714 0.01472 moveto
  1743. 0.35714 0.01847 lineto
  1744. stroke
  1745. grestore
  1746. gsave
  1747. 0.001 setlinewidth
  1748. 0.40476 0.01472 moveto
  1749. 0.40476 0.01847 lineto
  1750. stroke
  1751. grestore
  1752. gsave
  1753. 0.001 setlinewidth
  1754. 0.45238 0.01472 moveto
  1755. 0.45238 0.01847 lineto
  1756. stroke
  1757. grestore
  1758. gsave
  1759. 0.001 setlinewidth
  1760. 0.54762 0.01472 moveto
  1761. 0.54762 0.01847 lineto
  1762. stroke
  1763. grestore
  1764. gsave
  1765. 0.001 setlinewidth
  1766. 0.59524 0.01472 moveto
  1767. 0.59524 0.01847 lineto
  1768. stroke
  1769. grestore
  1770. gsave
  1771. 0.001 setlinewidth
  1772. 0.64286 0.01472 moveto
  1773. 0.64286 0.01847 lineto
  1774. stroke
  1775. grestore
  1776. gsave
  1777. 0.001 setlinewidth
  1778. 0.69048 0.01472 moveto
  1779. 0.69048 0.01847 lineto
  1780. stroke
  1781. grestore
  1782. gsave
  1783. 0.001 setlinewidth
  1784. 0.78571 0.01472 moveto
  1785. 0.78571 0.01847 lineto
  1786. stroke
  1787. grestore
  1788. gsave
  1789. 0.001 setlinewidth
  1790. 0.83333 0.01472 moveto
  1791. 0.83333 0.01847 lineto
  1792. stroke
  1793. grestore
  1794. gsave
  1795. 0.001 setlinewidth
  1796. 0.88095 0.01472 moveto
  1797. 0.88095 0.01847 lineto
  1798. stroke
  1799. grestore
  1800. gsave
  1801. 0.001 setlinewidth
  1802. 0.92857 0.01472 moveto
  1803. 0.92857 0.01847 lineto
  1804. stroke
  1805. grestore
  1806. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  1807. gsave
  1808. 0.002 setlinewidth
  1809. 0 0.01472 moveto
  1810. 1 0.01472 lineto
  1811. stroke
  1812. grestore
  1813. [(Step Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotshowa
  1814. gsave
  1815. 0.002 setlinewidth
  1816. 0.2619 0.13244 moveto
  1817. 0.26815 0.13244 lineto
  1818. stroke
  1819. grestore
  1820. [(0.2)] 0.2494 0.13244 1 0 Mshowa
  1821. gsave
  1822. 0.002 setlinewidth
  1823. 0.2619 0.25016 moveto
  1824. 0.26815 0.25016 lineto
  1825. stroke
  1826. grestore
  1827. [(0.4)] 0.2494 0.25016 1 0 Mshowa
  1828. gsave
  1829. 0.002 setlinewidth
  1830. 0.2619 0.36788 moveto
  1831. 0.26815 0.36788 lineto
  1832. stroke
  1833. grestore
  1834. [(0.6)] 0.2494 0.36788 1 0 Mshowa
  1835. gsave
  1836. 0.002 setlinewidth
  1837. 0.2619 0.4856 moveto
  1838. 0.26815 0.4856 lineto
  1839. stroke
  1840. grestore
  1841. [(0.8)] 0.2494 0.4856 1 0 Mshowa
  1842. gsave
  1843. 0.002 setlinewidth
  1844. 0.2619 0.60332 moveto
  1845. 0.26815 0.60332 lineto
  1846. stroke
  1847. grestore
  1848. [(1)] 0.2494 0.60332 1 0 Mshowa
  1849. gsave
  1850. 0.001 setlinewidth
  1851. 0.2619 0.03826 moveto
  1852. 0.26565 0.03826 lineto
  1853. stroke
  1854. grestore
  1855. gsave
  1856. 0.001 setlinewidth
  1857. 0.2619 0.0618 moveto
  1858. 0.26565 0.0618 lineto
  1859. stroke
  1860. grestore
  1861. gsave
  1862. 0.001 setlinewidth
  1863. 0.2619 0.08535 moveto
  1864. 0.26565 0.08535 lineto
  1865. stroke
  1866. grestore
  1867. gsave
  1868. 0.001 setlinewidth
  1869. 0.2619 0.10889 moveto
  1870. 0.26565 0.10889 lineto
  1871. stroke
  1872. grestore
  1873. gsave
  1874. 0.001 setlinewidth
  1875. 0.2619 0.15598 moveto
  1876. 0.26565 0.15598 lineto
  1877. stroke
  1878. grestore
  1879. gsave
  1880. 0.001 setlinewidth
  1881. 0.2619 0.17952 moveto
  1882. 0.26565 0.17952 lineto
  1883. stroke
  1884. grestore
  1885. gsave
  1886. 0.001 setlinewidth
  1887. 0.2619 0.20307 moveto
  1888. 0.26565 0.20307 lineto
  1889. stroke
  1890. grestore
  1891. gsave
  1892. 0.001 setlinewidth
  1893. 0.2619 0.22661 moveto
  1894. 0.26565 0.22661 lineto
  1895. stroke
  1896. grestore
  1897. gsave
  1898. 0.001 setlinewidth
  1899. 0.2619 0.2737 moveto
  1900. 0.26565 0.2737 lineto
  1901. stroke
  1902. grestore
  1903. gsave
  1904. 0.001 setlinewidth
  1905. 0.2619 0.29724 moveto
  1906. 0.26565 0.29724 lineto
  1907. stroke
  1908. grestore
  1909. gsave
  1910. 0.001 setlinewidth
  1911. 0.2619 0.32079 moveto
  1912. 0.26565 0.32079 lineto
  1913. stroke
  1914. grestore
  1915. gsave
  1916. 0.001 setlinewidth
  1917. 0.2619 0.34433 moveto
  1918. 0.26565 0.34433 lineto
  1919. stroke
  1920. grestore
  1921. gsave
  1922. 0.001 setlinewidth
  1923. 0.2619 0.39142 moveto
  1924. 0.26565 0.39142 lineto
  1925. stroke
  1926. grestore
  1927. gsave
  1928. 0.001 setlinewidth
  1929. 0.2619 0.41497 moveto
  1930. 0.26565 0.41497 lineto
  1931. stroke
  1932. grestore
  1933. gsave
  1934. 0.001 setlinewidth
  1935. 0.2619 0.43851 moveto
  1936. 0.26565 0.43851 lineto
  1937. stroke
  1938. grestore
  1939. gsave
  1940. 0.001 setlinewidth
  1941. 0.2619 0.46205 moveto
  1942. 0.26565 0.46205 lineto
  1943. stroke
  1944. grestore
  1945. gsave
  1946. 0.001 setlinewidth
  1947. 0.2619 0.50914 moveto
  1948. 0.26565 0.50914 lineto
  1949. stroke
  1950. grestore
  1951. gsave
  1952. 0.001 setlinewidth
  1953. 0.2619 0.53269 moveto
  1954. 0.26565 0.53269 lineto
  1955. stroke
  1956. grestore
  1957. gsave
  1958. 0.001 setlinewidth
  1959. 0.2619 0.55623 moveto
  1960. 0.26565 0.55623 lineto
  1961. stroke
  1962. grestore
  1963. gsave
  1964. 0.001 setlinewidth
  1965. 0.2619 0.57977 moveto
  1966. 0.26565 0.57977 lineto
  1967. stroke
  1968. grestore
  1969. [( )] 0.2619 0.61803 0 -4 Mshowa
  1970. gsave
  1971. 0.002 setlinewidth
  1972. 0.2619 0 moveto
  1973. 0.2619 0.61803 lineto
  1974. stroke
  1975. grestore
  1976. grestore
  1977. gsave
  1978. gsave
  1979. gsave
  1980. 0.006 setlinewidth
  1981. 0.02381 0.01472 moveto
  1982. 0.06349 0.01472 lineto
  1983. 0.10317 0.01472 lineto
  1984. 0.14286 0.01472 lineto
  1985. 0.18254 0.01472 lineto
  1986. 0.22222 0.01472 lineto
  1987. 0.24206 0.01472 lineto
  1988. 0.25198 0.01472 lineto
  1989. 0.25694 0.01472 lineto
  1990. 0.25942 0.01472 lineto
  1991. 0.26066 0.01472 lineto
  1992. 0.2619 0.01472 lineto
  1993. 0.26314 0.60332 lineto
  1994. 0.26438 0.60332 lineto
  1995. 0.26687 0.60332 lineto
  1996. 0.27183 0.60332 lineto
  1997. 0.28175 0.60332 lineto
  1998. 0.30159 0.60332 lineto
  1999. 0.34127 0.60332 lineto
  2000. 0.38095 0.60332 lineto
  2001. 0.42063 0.60332 lineto
  2002. 0.46032 0.60332 lineto
  2003. 0.5 0.60332 lineto
  2004. 0.53968 0.60332 lineto
  2005. 0.57937 0.60332 lineto
  2006. 0.61905 0.60332 lineto
  2007. 0.65873 0.60332 lineto
  2008. 0.69841 0.60332 lineto
  2009. 0.7381 0.60332 lineto
  2010. 0.77778 0.60332 lineto
  2011. 0.81746 0.60332 lineto
  2012. 0.85714 0.60332 lineto
  2013. 0.89683 0.60332 lineto
  2014. 0.93651 0.60332 lineto
  2015. 0.97619 0.60332 lineto
  2016. stroke
  2017. grestore
  2018. grestore
  2019. gsave
  2020. [ 0.05 0.05 ] 0 setdash
  2021. gsave
  2022. 0.004 setlinewidth
  2023. 0.02381 0.01472 moveto
  2024. 0.06349 0.01472 lineto
  2025. 0.10317 0.01472 lineto
  2026. 0.14286 0.01472 lineto
  2027. 0.18254 0.01472 lineto
  2028. 0.22222 0.01472 lineto
  2029. 0.2619 0.01472 lineto
  2030. 0.30159 0.01472 lineto
  2031. 0.34127 0.01472 lineto
  2032. 0.38095 0.01472 lineto
  2033. 0.42063 0.01472 lineto
  2034. 0.46032 0.01472 lineto
  2035. 0.5 0.01472 lineto
  2036. 0.53968 0.01472 lineto
  2037. 0.57937 0.01472 lineto
  2038. 0.61905 0.01472 lineto
  2039. 0.65873 0.01472 lineto
  2040. 0.69841 0.01472 lineto
  2041. 0.7381 0.01472 lineto
  2042. 0.77778 0.01472 lineto
  2043. 0.81746 0.01472 lineto
  2044. 0.85714 0.01472 lineto
  2045. 0.89683 0.01472 lineto
  2046. 0.93651 0.01472 lineto
  2047. 0.97619 0.01472 lineto
  2048. stroke
  2049. grestore
  2050. grestore
  2051. grestore
  2052. 0 0 moveto
  2053. 1 0 lineto
  2054. 1 0.61803 lineto
  2055. 0 0.61803 lineto
  2056. closepath
  2057. clip
  2058. newpath
  2059. % End of Graphics
  2060. MathPictureEnd
  2061. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; ]
  2062. The Unformatted text for this cell was not generated.
  2063. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  2064. when Unformatted text is generated.
  2065. ;[o]
  2066. -Graphics-
  2067. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  2068. Ramp Signal
  2069. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; startGroup; ]
  2070. SignalPlot[t CStep[t],{t,-1,3},PlotLabel->"Ramp Signal"]
  2071. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  2072. %!
  2073. %%Creator: Mathematica
  2074. %%AspectRatio: 0.61803 
  2075. MathPictureStart
  2076. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  2077. % Scaling calculations
  2078. 0.261905 0.238095 0.014715 0.196201 [
  2079. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Msboxa
  2080. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  2081. [(2)] 0.7381 0.01472 0 2 Msboxa
  2082. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  2083. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  2084. [(Ramp Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotsboxa
  2085. [(0.5)] 0.2494 0.11282 1 0 Msboxa
  2086. [(1)] 0.2494 0.21092 1 0 Msboxa
  2087. [(1.5)] 0.2494 0.30902 1 0 Msboxa
  2088. [(2)] 0.2494 0.40712 1 0 Msboxa
  2089. [(2.5)] 0.2494 0.50522 1 0 Msboxa
  2090. [(3)] 0.2494 0.60332 1 0 Msboxa
  2091. [( )] 0.2619 0.61803 0 -4 Msboxa
  2092. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  2093. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  2094. ] MathScale
  2095. % Start of Graphics
  2096. 1 setlinecap
  2097. 1 setlinejoin
  2098. newpath
  2099. %%Object: Graphics
  2100. [ ] 0 setdash
  2101. 0 setgray
  2102. gsave
  2103. gsave
  2104. 0.002 setlinewidth
  2105. 0.02381 0.01472 moveto
  2106. 0.02381 0.02097 lineto
  2107. stroke
  2108. grestore
  2109. [(-1)] 0.02381 0.01472 0 2 Mshowa
  2110. gsave
  2111. 0.002 setlinewidth
  2112. 0.5 0.01472 moveto
  2113. 0.5 0.02097 lineto
  2114. stroke
  2115. grestore
  2116. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  2117. gsave
  2118. 0.002 setlinewidth
  2119. 0.7381 0.01472 moveto
  2120. 0.7381 0.02097 lineto
  2121. stroke
  2122. grestore
  2123. [(2)] 0.7381 0.01472 0 2 Mshowa
  2124. gsave
  2125. 0.002 setlinewidth
  2126. 0.97619 0.01472 moveto
  2127. 0.97619 0.02097 lineto
  2128. stroke
  2129. grestore
  2130. [(3)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  2131. gsave
  2132. 0.001 setlinewidth
  2133. 0.07143 0.01472 moveto
  2134. 0.07143 0.01847 lineto
  2135. stroke
  2136. grestore
  2137. gsave
  2138. 0.001 setlinewidth
  2139. 0.11905 0.01472 moveto
  2140. 0.11905 0.01847 lineto
  2141. stroke
  2142. grestore
  2143. gsave
  2144. 0.001 setlinewidth
  2145. 0.16667 0.01472 moveto
  2146. 0.16667 0.01847 lineto
  2147. stroke
  2148. grestore
  2149. gsave
  2150. 0.001 setlinewidth
  2151. 0.21429 0.01472 moveto
  2152. 0.21429 0.01847 lineto
  2153. stroke
  2154. grestore
  2155. gsave
  2156. 0.001 setlinewidth
  2157. 0.30952 0.01472 moveto
  2158. 0.30952 0.01847 lineto
  2159. stroke
  2160. grestore
  2161. gsave
  2162. 0.001 setlinewidth
  2163. 0.35714 0.01472 moveto
  2164. 0.35714 0.01847 lineto
  2165. stroke
  2166. grestore
  2167. gsave
  2168. 0.001 setlinewidth
  2169. 0.40476 0.01472 moveto
  2170. 0.40476 0.01847 lineto
  2171. stroke
  2172. grestore
  2173. gsave
  2174. 0.001 setlinewidth
  2175. 0.45238 0.01472 moveto
  2176. 0.45238 0.01847 lineto
  2177. stroke
  2178. grestore
  2179. gsave
  2180. 0.001 setlinewidth
  2181. 0.54762 0.01472 moveto
  2182. 0.54762 0.01847 lineto
  2183. stroke
  2184. grestore
  2185. gsave
  2186. 0.001 setlinewidth
  2187. 0.59524 0.01472 moveto
  2188. 0.59524 0.01847 lineto
  2189. stroke
  2190. grestore
  2191. gsave
  2192. 0.001 setlinewidth
  2193. 0.64286 0.01472 moveto
  2194. 0.64286 0.01847 lineto
  2195. stroke
  2196. grestore
  2197. gsave
  2198. 0.001 setlinewidth
  2199. 0.69048 0.01472 moveto
  2200. 0.69048 0.01847 lineto
  2201. stroke
  2202. grestore
  2203. gsave
  2204. 0.001 setlinewidth
  2205. 0.78571 0.01472 moveto
  2206. 0.78571 0.01847 lineto
  2207. stroke
  2208. grestore
  2209. gsave
  2210. 0.001 setlinewidth
  2211. 0.83333 0.01472 moveto
  2212. 0.83333 0.01847 lineto
  2213. stroke
  2214. grestore
  2215. gsave
  2216. 0.001 setlinewidth
  2217. 0.88095 0.01472 moveto
  2218. 0.88095 0.01847 lineto
  2219. stroke
  2220. grestore
  2221. gsave
  2222. 0.001 setlinewidth
  2223. 0.92857 0.01472 moveto
  2224. 0.92857 0.01847 lineto
  2225. stroke
  2226. grestore
  2227. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  2228. gsave
  2229. 0.002 setlinewidth
  2230. 0 0.01472 moveto
  2231. 1 0.01472 lineto
  2232. stroke
  2233. grestore
  2234. [(Ramp Signal)] 0.5 0.61803 0 -2 0 0 1 Mouter Mrotshowa
  2235. gsave
  2236. 0.002 setlinewidth
  2237. 0.2619 0.11282 moveto
  2238. 0.26815 0.11282 lineto
  2239. stroke
  2240. grestore
  2241. [(0.5)] 0.2494 0.11282 1 0 Mshowa
  2242. gsave
  2243. 0.002 setlinewidth
  2244. 0.2619 0.21092 moveto
  2245. 0.26815 0.21092 lineto
  2246. stroke
  2247. grestore
  2248. [(1)] 0.2494 0.21092 1 0 Mshowa
  2249. gsave
  2250. 0.002 setlinewidth
  2251. 0.2619 0.30902 moveto
  2252. 0.26815 0.30902 lineto
  2253. stroke
  2254. grestore
  2255. [(1.5)] 0.2494 0.30902 1 0 Mshowa
  2256. gsave
  2257. 0.002 setlinewidth
  2258. 0.2619 0.40712 moveto
  2259. 0.26815 0.40712 lineto
  2260. stroke
  2261. grestore
  2262. [(2)] 0.2494 0.40712 1 0 Mshowa
  2263. gsave
  2264. 0.002 setlinewidth
  2265. 0.2619 0.50522 moveto
  2266. 0.26815 0.50522 lineto
  2267. stroke
  2268. grestore
  2269. [(2.5)] 0.2494 0.50522 1 0 Mshowa
  2270. gsave
  2271. 0.002 setlinewidth
  2272. 0.2619 0.60332 moveto
  2273. 0.26815 0.60332 lineto
  2274. stroke
  2275. grestore
  2276. [(3)] 0.2494 0.60332 1 0 Mshowa
  2277. gsave
  2278. 0.001 setlinewidth
  2279. 0.2619 0.03434 moveto
  2280. 0.26565 0.03434 lineto
  2281. stroke
  2282. grestore
  2283. gsave
  2284. 0.001 setlinewidth
  2285. 0.2619 0.05396 moveto
  2286. 0.26565 0.05396 lineto
  2287. stroke
  2288. grestore
  2289. gsave
  2290. 0.001 setlinewidth
  2291. 0.2619 0.07358 moveto
  2292. 0.26565 0.07358 lineto
  2293. stroke
  2294. grestore
  2295. gsave
  2296. 0.001 setlinewidth
  2297. 0.2619 0.0932 moveto
  2298. 0.26565 0.0932 lineto
  2299. stroke
  2300. grestore
  2301. gsave
  2302. 0.001 setlinewidth
  2303. 0.2619 0.13244 moveto
  2304. 0.26565 0.13244 lineto
  2305. stroke
  2306. grestore
  2307. gsave
  2308. 0.001 setlinewidth
  2309. 0.2619 0.15206 moveto
  2310. 0.26565 0.15206 lineto
  2311. stroke
  2312. grestore
  2313. gsave
  2314. 0.001 setlinewidth
  2315. 0.2619 0.17168 moveto
  2316. 0.26565 0.17168 lineto
  2317. stroke
  2318. grestore
  2319. gsave
  2320. 0.001 setlinewidth
  2321. 0.2619 0.1913 moveto
  2322. 0.26565 0.1913 lineto
  2323. stroke
  2324. grestore
  2325. gsave
  2326. 0.001 setlinewidth
  2327. 0.2619 0.23054 moveto
  2328. 0.26565 0.23054 lineto
  2329. stroke
  2330. grestore
  2331. gsave
  2332. 0.001 setlinewidth
  2333. 0.2619 0.25016 moveto
  2334. 0.26565 0.25016 lineto
  2335. stroke
  2336. grestore
  2337. gsave
  2338. 0.001 setlinewidth
  2339. 0.2619 0.26978 moveto
  2340. 0.26565 0.26978 lineto
  2341. stroke
  2342. grestore
  2343. gsave
  2344. 0.001 setlinewidth
  2345. 0.2619 0.2894 moveto
  2346. 0.26565 0.2894 lineto
  2347. stroke
  2348. grestore
  2349. gsave
  2350. 0.001 setlinewidth
  2351. 0.2619 0.32864 moveto
  2352. 0.26565 0.32864 lineto
  2353. stroke
  2354. grestore
  2355. gsave
  2356. 0.001 setlinewidth
  2357. 0.2619 0.34826 moveto
  2358. 0.26565 0.34826 lineto
  2359. stroke
  2360. grestore
  2361. gsave
  2362. 0.001 setlinewidth
  2363. 0.2619 0.36788 moveto
  2364. 0.26565 0.36788 lineto
  2365. stroke
  2366. grestore
  2367. gsave
  2368. 0.001 setlinewidth
  2369. 0.2619 0.3875 moveto
  2370. 0.26565 0.3875 lineto
  2371. stroke
  2372. grestore
  2373. gsave
  2374. 0.001 setlinewidth
  2375. 0.2619 0.42674 moveto
  2376. 0.26565 0.42674 lineto
  2377. stroke
  2378. grestore
  2379. gsave
  2380. 0.001 setlinewidth
  2381. 0.2619 0.44636 moveto
  2382. 0.26565 0.44636 lineto
  2383. stroke
  2384. grestore
  2385. gsave
  2386. 0.001 setlinewidth
  2387. 0.2619 0.46598 moveto
  2388. 0.26565 0.46598 lineto
  2389. stroke
  2390. grestore
  2391. gsave
  2392. 0.001 setlinewidth
  2393. 0.2619 0.4856 moveto
  2394. 0.26565 0.4856 lineto
  2395. stroke
  2396. grestore
  2397. gsave
  2398. 0.001 setlinewidth
  2399. 0.2619 0.52484 moveto
  2400. 0.26565 0.52484 lineto
  2401. stroke
  2402. grestore
  2403. gsave
  2404. 0.001 setlinewidth
  2405. 0.2619 0.54446 moveto
  2406. 0.26565 0.54446 lineto
  2407. stroke
  2408. grestore
  2409. gsave
  2410. 0.001 setlinewidth
  2411. 0.2619 0.56408 moveto
  2412. 0.26565 0.56408 lineto
  2413. stroke
  2414. grestore
  2415. gsave
  2416. 0.001 setlinewidth
  2417. 0.2619 0.5837 moveto
  2418. 0.26565 0.5837 lineto
  2419. stroke
  2420. grestore
  2421. [( )] 0.2619 0.61803 0 -4 Mshowa
  2422. gsave
  2423. 0.002 setlinewidth
  2424. 0.2619 0 moveto
  2425. 0.2619 0.61803 lineto
  2426. stroke
  2427. grestore
  2428. grestore
  2429. gsave
  2430. gsave
  2431. gsave
  2432. 0.006 setlinewidth
  2433. 0.02381 0.01472 moveto
  2434. 0.06349 0.01472 lineto
  2435. 0.10317 0.01472 lineto
  2436. 0.14286 0.01472 lineto
  2437. 0.18254 0.01472 lineto
  2438. 0.22222 0.01472 lineto
  2439. 0.24206 0.01472 lineto
  2440. 0.25198 0.01472 lineto
  2441. 0.25694 0.01472 lineto
  2442. 0.25942 0.01472 lineto
  2443. 0.26066 0.01472 lineto
  2444. 0.2619 0.01472 lineto
  2445. 0.26438 0.01676 lineto
  2446. 0.26687 0.0188 lineto
  2447. 0.27183 0.02289 lineto
  2448. 0.28175 0.03107 lineto
  2449. 0.30159 0.04742 lineto
  2450. 0.34127 0.08012 lineto
  2451. 0.38095 0.11282 lineto
  2452. 0.42063 0.14552 lineto
  2453. 0.46032 0.17822 lineto
  2454. 0.5 0.21092 lineto
  2455. 0.53968 0.24362 lineto
  2456. 0.57937 0.27632 lineto
  2457. 0.61905 0.30902 lineto
  2458. 0.65873 0.34172 lineto
  2459. 0.69841 0.37442 lineto
  2460. 0.7381 0.40712 lineto
  2461. 0.77778 0.43982 lineto
  2462. 0.81746 0.47252 lineto
  2463. 0.85714 0.50522 lineto
  2464. 0.89683 0.53792 lineto
  2465. 0.93651 0.57062 lineto
  2466. 0.97619 0.60332 lineto
  2467. stroke
  2468. grestore
  2469. grestore
  2470. gsave
  2471. [ 0.05 0.05 ] 0 setdash
  2472. gsave
  2473. 0.004 setlinewidth
  2474. 0.02381 0.01472 moveto
  2475. 0.06349 0.01472 lineto
  2476. 0.10317 0.01472 lineto
  2477. 0.14286 0.01472 lineto
  2478. 0.18254 0.01472 lineto
  2479. 0.22222 0.01472 lineto
  2480. 0.2619 0.01472 lineto
  2481. 0.30159 0.01472 lineto
  2482. 0.34127 0.01472 lineto
  2483. 0.38095 0.01472 lineto
  2484. 0.42063 0.01472 lineto
  2485. 0.46032 0.01472 lineto
  2486. 0.5 0.01472 lineto
  2487. 0.53968 0.01472 lineto
  2488. 0.57937 0.01472 lineto
  2489. 0.61905 0.01472 lineto
  2490. 0.65873 0.01472 lineto
  2491. 0.69841 0.01472 lineto
  2492. 0.7381 0.01472 lineto
  2493. 0.77778 0.01472 lineto
  2494. 0.81746 0.01472 lineto
  2495. 0.85714 0.01472 lineto
  2496. 0.89683 0.01472 lineto
  2497. 0.93651 0.01472 lineto
  2498. 0.97619 0.01472 lineto
  2499. stroke
  2500. grestore
  2501. grestore
  2502. grestore
  2503. 0 0 moveto
  2504. 1 0 lineto
  2505. 1 0.61803 lineto
  2506. 0 0.61803 lineto
  2507. closepath
  2508. clip
  2509. newpath
  2510. % End of Graphics
  2511. MathPictureEnd
  2512. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 529; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  2513. The Unformatted text for this cell was not generated.
  2514. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  2515. when Unformatted text is generated.
  2516. ;[o]
  2517. -Graphics-
  2518. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2519. Forward Laplace Transforms
  2520. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2521.         The forward Laplace transform rule base transforms a two-sided continuous-time function to the Laplace domain.  In these packages, the Laplace transform of the continuous-time function f(t) is F(s) = L{f(t)} such that
  2522. ;[s]
  2523. 14:0,0;2,1;6,2;31,3;55,4;89,5;97,6;111,7;137,8;154,9;187,10;192,11;194,12;209,13;220,-1;
  2524. 14:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2525. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; active; preserveAspect; height = 94; pictureLeft = 10; pictureWidth = 399; pictureHeight = 245; ]
  2526. %!
  2527. %%Creator: Mathematica
  2528. %%AspectRatio: 1 
  2529. MathPictureStart
  2530. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  2531. % Scaling calculations
  2532. 0.541667 0.0833333 0.833333 0.0833333 [
  2533. [ 0 0 0 0 ]
  2534. [ 1 1 0 0 ]
  2535. ] MathScale
  2536. % Start of Graphics
  2537. 1 setlinecap
  2538. 1 setlinejoin
  2539. newpath
  2540. %%Object: Graphics
  2541. [ ] 0 setdash
  2542. 0 setgray
  2543. gsave
  2544. grestore
  2545. 0 0 moveto
  2546. 1 0 lineto
  2547. 1 1 lineto
  2548. 0 1 lineto
  2549. closepath
  2550. clip
  2551. newpath
  2552. gsave
  2553. 0.0075 setlinewidth
  2554. 0.375 0.925 moveto
  2555. 0.3625 0.91667 lineto
  2556. 0.35417 0.9 lineto
  2557. 0.35417 0.76667 lineto
  2558. 0.34583 0.75 lineto
  2559. 0.33333 0.74167 lineto
  2560. stroke
  2561. gsave
  2562. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  2563. [(L{f\(t\)} =)] 0.29167 0.83333 1 0 Mshowa
  2564. grestore
  2565. gsave
  2566. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  2567. [(o)] 0.41667 0.925 0 0 Mshowa
  2568. grestore
  2569. gsave
  2570. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  2571. [(o)] 0.43333 0.925 0 0 Mshowa
  2572. grestore
  2573. gsave
  2574. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  2575. [(o)] 0.40833 0.74167 0 0 Mshowa
  2576. grestore
  2577. gsave
  2578. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  2579. [(o)] 0.425 0.74167 0 0 Mshowa
  2580. grestore
  2581. gsave
  2582. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  2583. [(-)] 0.375 0.74167 0 0 Mshowa
  2584. grestore
  2585. gsave
  2586. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  2587. [(f\(t\))] 0.45833 0.83333 -1 0 Mshowa
  2588. grestore
  2589. gsave
  2590. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  2591. [(e)] 0.58333 0.83333 -1 0 Mshowa
  2592. grestore
  2593. gsave
  2594. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  2595. [(dt)] 0.70833 0.83333 -1 0 Mshowa
  2596. grestore
  2597. gsave
  2598. /Plain findfont 10 scalefont setfont
  2599. [(-st)] 0.625 0.875 -1 0 Mshowa
  2600. grestore
  2601. gsave
  2602. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  2603. [(\(1\))] 0.875 0.83333 -1 0 Mshowa
  2604. grestore
  2605. grestore
  2606. % End of Graphics
  2607. MathPictureEnd
  2608. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2609. In order that a transform's inverse can be specified uniquely, LaPlace tracks the region of convergence of the transform.
  2610. ;[s]
  2611. 3:0,0;62,1;71,2;121,-1;
  2612. 3:1,14,11,Times,0,16,0,0,0;1,14,11,Times,1,16,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  2613. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2614. Invoking the Forward Laplace Transform Rule Base
  2615. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2616.         To invoke LaPlace, a user must specify the function and the time variable(s) to the rule base.  For example, the two-sided Laplace transform of f(t) = 1 is Delta[s]:
  2617. ;[s]
  2618. 9:0,0;2,1;11,2;20,3;124,4;143,5;145,6;155,7;157,8;168,-1;
  2619. 9:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  2620. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2621.  
  2622. LaPlace[ 1, t ]
  2623. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2624. LTransData[Delta[s], Rminus[0], Rplus[0], LVariables[s]]
  2625. ;[o]
  2626. LTransData[Delta[s], Rminus[0], Rplus[0], LVariables[s]]
  2627. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2628.  
  2629. Notice that the Laplace transform rule base returns an object with a head of LTransData.  The slots of LTransData are the Laplace transform function, its region of convergence (two slots), and the Laplace transform variables.  In this case, LaPlace used "s" as the transform variable (the default). 
  2630. ;[s]
  2631. 17:0,0;1,1;17,2;24,3;78,4;91,5;104,6;114,7;123,8;130,9;131,10;140,11;198,12;215,13;242,14;249,15;298,16;301,-1;
  2632. 17:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  2633. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2634. Two-sided and one-sided transforms
  2635. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2636.         The Laplace transform assumes that the time function is two-sided.  In order to specify a one-sided time function, the continuous step function CStep should appear in each multiplicative term.  For example, the Laplace transform of f(t) = { 1 for t > 0, 1/2 for t = 0, and 0 elsewhere } is 1/s:
  2637. ;[s]
  2638. 11:0,0;2,1;6,2;23,3;145,4;152,5;212,6;231,7;233,8;289,9;291,10;297,-1;
  2639. 11:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  2640. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2641.  
  2642. LaPlace[ CStep[t], t, s ]
  2643. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2644. LTransData[s^(-1), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2645.   LVariables[s]]
  2646. ;[o]
  2647.            1
  2648. LTransData[-, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2649.            s
  2650. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2651. You can only pick up the first element in the LTransData.
  2652.  
  2653. :[font = input; preserveAspect; ]
  2654.  
  2655. LaPlace[ CStep[t], t, s ][[1]]
  2656. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2657. s^(-1)
  2658. ;[o]
  2659. 1
  2660. -
  2661. s
  2662. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2663.  
  2664. CStep[t] is the continuous step function.  The left-sided version of  this function, CStep[-t], has the following Laplace transform:
  2665. ;[s]
  2666. 5:0,0;10,1;86,2;97,3;114,4;134,-1;
  2667. 5:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  2668. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2669.  
  2670. LaPlace[ CStep[-t], t, s ]
  2671. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2672. LTransData[-s^(-1), Rminus[DirectedInfinity[-1]], Rplus[0], 
  2673.   LVariables[s]]
  2674. ;[o]
  2675.              1
  2676. LTransData[-(-), Rminus[-Infinity], Rplus[0], LVariables[s]]
  2677.              s
  2678. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2679. Optional arguments (options)
  2680. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2681.         If a user supplies the Laplace transform variable, then the user can also specify options.  The default options are:
  2682. ;[s]
  2683. 4:0,0;2,1;25,2;43,3;119,-1;
  2684. 4:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2685. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2686.  
  2687. Options[LaPlace]
  2688. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2689. {Dialogue -> True, Simplify -> True, TransformLookup -> {}}
  2690. ;[o]
  2691. {Dialogue -> True, Simplify -> True, TransformLookup -> {}}
  2692. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2693.  
  2694. :[font = subsubtitle; inactive; Cclosed; preserveAspect; left; startGroup; ]
  2695. -- Dialogue Option
  2696. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2697.         If set to True or All, the Dialogue setting will cause LaPlace to report any assumptions being made about the parameters in the continuous-time function.  It will also report those functions which it could not transform.  Proper usage of the Dialogue option is:
  2698. ;[s]
  2699. 12:0,0;2,1;11,2;17,3;19,4;25,5;28,6;38,7;56,8;65,9;244,10;253,11;264,-1;
  2700. 12:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2701. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2702.  
  2703. LaPlace[ Exp[t], t, s, Dialogue -> True ]
  2704. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2705. LTransData[Delta[-1 + s], Rminus[1], Rplus[1], LVariables[s]]
  2706. ;[o]
  2707. LTransData[Delta[-1 + s], Rminus[1], Rplus[1], LVariables[s]]
  2708. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2709.  
  2710. In this case, we have asked for the two-sided Laplace transform of Exp[t], which does not exist.  Since Dialogue is enabled (which is the default anyway), LaPlace reports that it cannot find the transform of Exp[t].  Whether Dialogue is enabled or not, the Laplace rule base will return an invalid Laplace transform object for those forward transform which do not exist.
  2711. ;[s]
  2712. 18:0,0;1,1;46,2;65,3;67,4;76,5;104,6;114,7;155,8;164,9;209,10;218,11;225,12;235,13;257,14;266,15;298,16;306,17;372,-1;
  2713. 18:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2714. :[font = subsubtitle; inactive; Cclosed; preserveAspect; left; startGroup; ]
  2715. -- TransformLookup Option
  2716. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2717.         The TransformLookup option allows users to specify their own transform pairs.  One consequence of this is that users can now to transforms of general functions like x[t] without having to define x[t] as a formula.  For example,
  2718. ;[s]
  2719. 8:0,0;2,1;5,2;22,3;166,4;172,5;196,6;202,7;230,-1;
  2720. 8:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2721. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2722. LaPlace[ a x[t], t, s, TransformLookup -> {x[t] :> X[s]} ]
  2723. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2724. LTransData[a*X[s], Rminus[DirectedInfinity[-1]], 
  2725.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2726. ;[o]
  2727. LTransData[a X[s], Rminus[-Infinity], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2728. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2729. Here, we have let the Laplace transform of x[t] be X[s].
  2730. ;[s]
  2731. 4:0,0;42,1;48,2;50,3;57,-1;
  2732. 4:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  2733. :[font = subsubtitle; inactive; Cclosed; preserveAspect; left; startGroup; ]
  2734. -- Simplify Option
  2735. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  2736.         The other option is Simplify.  If true, the signal processing simplification rules (SPSimplificationRules) are applied to the entire transform object (including the region of convergence information).   This rule base reduces expressions involving the abs, conj, imag, max, min, and real operators in Mathematica (Abs, Conjugate, Im, Max, Min, and Re, respectively).  The LaPlace rule base runs faster when this option is disabled, but the expressions for the limits on the region of convergence will not be simplified.
  2737. ;[s]
  2738. 10:0,0;2,1;21,2;33,3;84,4;109,5;302,6;370,7;373,8;382,9;522,-1;
  2739. 10:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  2740. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2741. Rational One-Dimensional Transforms
  2742. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2743.         The Laplace transform of f(t) = 1 for t > 0  is rational.  That is, the Laplace transform function is a rational polynomial.
  2744. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2745.         The Laplace rule base transforms time functions by using lookup tables.  The following four transforms require the use of one Laplace transform property --  they all use the fact that multiplying f(t) by an exponential function is the transform of f(t) shifted by -a.  The last two also invoke the additivity property.
  2746. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2747. Transforms requiring only one property
  2748. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2749.  
  2750. LaPlace[ t Exp[a t] CStep[t], t, s ]
  2751. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2752. LTransData[(-a + s)^(-2), Rminus[Re[a]], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2753.   LVariables[s]]
  2754. ;[o]
  2755.                    -2
  2756. LTransData[(-a + s)  , Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2757. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2758.  
  2759. LaPlace[ t^(n-1) Exp[a t] CStep[t] / Gamma[n], t, s ]
  2760. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2761. LTransData[(-a + s)^(-n), Rminus[Re[a]], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2762.   LVariables[s]]
  2763. ;[o]
  2764.                    -n
  2765. LTransData[(-a + s)  , Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2766. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2767.  
  2768. LaPlace[ ( Exp[a t] - Exp[b t] ) CStep[t] / ( a - b ), t, s ]
  2769. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2770. LTransData[(a*b - a*s - b*s + s^2)^(-1), Rminus[Max[Re[a], Re[b]]], 
  2771.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2772. ;[o]
  2773.                     1
  2774. LTransData[--------------------, Rminus[Max[Re[a], Re[b]]], 
  2775.                               2
  2776.            a b - a s - b s + s
  2777.  
  2778.   Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2779. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2780.  
  2781. LaPlace[ ( a Exp[a t] - b Exp[b t] ) CStep[t] / ( a - b ), t, s ]
  2782. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2783. LTransData[s/(a*b - a*s - b*s + s^2), Rminus[Max[Re[a], Re[b]]], 
  2784.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2785. ;[o]
  2786.                     s
  2787. LTransData[--------------------, Rminus[Max[Re[a], Re[b]]], 
  2788.                               2
  2789.            a b - a s - b s + s
  2790.  
  2791.   Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2792. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2793. Four common rational transforms
  2794. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2795. LaPlace[ t CStep[t], t, s ]
  2796. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2797. LTransData[s^(-2), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2798.   LVariables[s]]
  2799. ;[o]
  2800.             -2
  2801. LTransData[s  , Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2802. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2803. LaPlace[ t CStep[t] - CStep[t], t, s ]
  2804. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2805. LTransData[(1 - s)/s^2, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2806.   LVariables[s]]
  2807. ;[o]
  2808.            1 - s
  2809. LTransData[-----, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2810.              2
  2811.             s
  2812. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2813.  
  2814. LaPlace[ t^(n - 1) CStep[t] / Gamma[n], t, s ]
  2815. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2816. LTransData[s^(-n), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2817.   LVariables[s]]
  2818. ;[o]
  2819.             -n
  2820. LTransData[s  , Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2821. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2822.  
  2823. LaPlace[ Exp[a t] CStep[t], t, s ]
  2824. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2825. LTransData[(-a + s)^(-1), Rminus[Re[a]], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2826.   LVariables[s]]
  2827. ;[o]
  2828.              1
  2829. LTransData[------, Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2830.            -a + s
  2831. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2832. Hyperbolic Functions
  2833. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2834.  
  2835.         Mathematica automatically translates Sinh[a t] into ( - Exp[- a t] + Exp[a t] ) / 2 so that the Laplace transform rule base does not need a lookup rule for the hyperbolic sine.  This is also true for Cosh[a t], which is always rewritten as ( Exp[- a t] + Exp[a t] ) / 2.
  2836. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2837.  
  2838. LaPlace[ Sinh[a t] CStep[t] / a, t, s ]
  2839. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2840. LTransData[(-a^2 + s^2)^(-1), Rminus[Abs[a]], 
  2841.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2842. ;[o]
  2843.               1
  2844. LTransData[--------, Rminus[Abs[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2845.              2    2
  2846.            -a  + s
  2847. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2848.  
  2849. LaPlace[ Cosh[a t] CStep[t], t, s ]
  2850. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2851. LTransData[s/(-a^2 + s^2), Rminus[Abs[a]], 
  2852.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2853. ;[o]
  2854.               s
  2855. LTransData[--------, Rminus[Abs[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2856.              2    2
  2857.            -a  + s
  2858. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2859. Transforms of Sinusoids
  2860. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2861.  
  2862.         Here are some examples of  transforms of  terms involving only sinusoidal functions:
  2863.  
  2864. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2865. LaPlace[ Sin[a t] CStep[t] / a, t, s ]
  2866. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2867. LTransData[(a^2 + s^2)^(-1), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2868.   LVariables[s]]
  2869. ;[o]
  2870.               1
  2871. LTransData[-------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2872.             2    2
  2873.            a  + s
  2874. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2875.  
  2876. LaPlace[ Cos[a t] CStep[t], t, s ]
  2877. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2878. LTransData[s/(a^2 + s^2), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2879.   LVariables[s]]
  2880. ;[o]
  2881.               s
  2882. LTransData[-------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2883.             2    2
  2884.            a  + s
  2885. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2886.  
  2887. LaPlace[ ( 1 - Cos[a t] ) CStep[t] / a^2, t, s ]
  2888. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2889. LTransData[(a^2*s + s^3)^(-1), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2890.   LVariables[s]]
  2891. ;[o]
  2892.                1
  2893. LTransData[---------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2894.             2      3
  2895.            a  s + s
  2896. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2897.  
  2898. LaPlace[ ( a t - Sin[a t] ) CStep[t] / a^3, t, s ]
  2899. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2900. LTransData[(a^2*s^2 + s^4)^(-1), Rminus[0], 
  2901.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2902. ;[o]
  2903.                1
  2904. LTransData[----------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2905.             2  2    4
  2906.            a  s  + s
  2907. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2908.  
  2909. LaPlace[ ( Sin[a t] - a t Cos[a t] ) CStep[t] / ( 2 a^3 ), t, s ]
  2910. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2911. LTransData[(a^2 + s^2)^(-2), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2912.   LVariables[s]]
  2913. ;[o]
  2914.              2    2 -2
  2915. LTransData[(a  + s )  , Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2916. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2917.  
  2918. LaPlace[ t Sin[a t] CStep[t] / ( 2 a ), t, s ]
  2919. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2920. LTransData[s/(a^2 + s^2)^2, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2921.   LVariables[s]]
  2922. ;[o]
  2923.                s
  2924. LTransData[----------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2925.              2    2 2
  2926.            (a  + s )
  2927. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2928.  
  2929. LaPlace[ t Cos[a t] CStep[t], t, s ]
  2930. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2931. LTransData[(-a^2 + s^2)/(a^2 + s^2)^2, Rminus[0], 
  2932.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2933. ;[o]
  2934.               2    2
  2935.             -a  + s
  2936. LTransData[----------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2937.              2    2 2
  2938.            (a  + s )
  2939. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2940. Sinusoids Mixed With Other Functions
  2941. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2942.  
  2943.         The next three examples involving continuous-time functions which are a mixture of sinusoidal and exponential terms.  The first two examples are damped sinusoids.
  2944. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2945.  
  2946. LaPlace[ Exp[a t] Sin[b t] CStep[t] / b, t, s ]
  2947. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2948. LTransData[(b^2 + (-a + s)^2)^(-1), Rminus[Re[a]], 
  2949.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2950. ;[o]
  2951.                  1
  2952. LTransData[--------------, Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], 
  2953.             2           2
  2954.            b  + (-a + s)
  2955.  
  2956.   LVariables[s]]
  2957. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2958.  
  2959. LaPlace[ Exp[a t] Cos[b t] CStep[t], t, s ]
  2960. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2961. LTransData[(-a + s)/(b^2 + (-a + s)^2), Rminus[Re[a]], 
  2962.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2963. ;[o]
  2964.                -a + s
  2965. LTransData[--------------, Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], 
  2966.             2           2
  2967.            b  + (-a + s)
  2968.  
  2969.   LVariables[s]]
  2970. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2971.  
  2972. LaPlace[ ( Sin[a t] Cosh[a t] - Cos[a t] Sinh[a t] ) CStep[t],
  2973.          t, s ]
  2974. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  2975. LTransData[(4*a^3)/(4*a^4 + s^4), Rminus[Abs[a]], 
  2976.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  2977. ;[o]
  2978.                 3
  2979.              4 a
  2980. LTransData[---------, Rminus[Abs[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2981.               4    4
  2982.            4 a  + s
  2983. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2984. Other Rational Transforms
  2985. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  2986.  
  2987.         For the most part, rational transforms represent some combination of continuous-time exponential and sinusoidal functions.  Another example of this is the forward Laplace transform of a Laguerre polynomial of order n:
  2988. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  2989. LaPlace[ LaguerreL[n, t] CStep[t], t, s ]
  2990. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  2991. LTransData[(1 - s^(-1))^n/s, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  2992.   LVariables[s]]
  2993. ;[o]
  2994.                 1 n
  2995.            (1 - -)
  2996.                 s
  2997. LTransData[--------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  2998.               s
  2999. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3000.  
  3001. One rational transform pair which does not contain sinusoidal or exponential terms is:
  3002. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3003.  
  3004. LaPlace[ (t / (2 a))^(k - 1/2) BesselJ[k - 1/2, a t] CStep[t] /
  3005.           Gamma[k], t, s ]
  3006. :[font = message; inactive; preserveAspect; ]
  3007. Transform::incomplete: 
  3008.    The rule base could not compute the forward Laplace transform of 
  3009.      t -(1/2) + k           1
  3010.     (-)           BesselJ[-(-) + k, a t] CStep[t] with respect to t.
  3011.      a                      2
  3012. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  3013. MakeLObject[ScaleT[LForm, Laplace`LaPlace`Private`mylaplace[(t/a)^
  3014.       (-1/2 + k)*BesselJ[-1/2 + k, a*t]*CStep[t], t, s, 
  3015.     {True, True, True, True, False, True, False}, {t}, {s}, 
  3016.     {Dialogue -> True, Simplify -> True}], 
  3017.    ((1/2)^k*2^(1/2))/Gamma[k]], s]
  3018. ;[o]
  3019. -Incomplete Laplace Transform-
  3020. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3021. Non-rational One-Dimensional Transforms
  3022. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3023.  
  3024. LaPlace[ ( 1 / Sqrt[Pi t] + a Exp[a^2 t] Erf[a Sqrt[t]] ) CStep[t],
  3025.          t, s ]
  3026. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3027. LTransData[s^(1/2)/(-a^2 + s), Rminus[Max[0, -Im[a]^2 + Re[a]^2]], 
  3028.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3029. ;[o]
  3030.            Sqrt[s]                      2        2
  3031. LTransData[-------, Rminus[Max[0, -Im[a]  + Re[a] ]], Rplus[Infinity], 
  3032.              2
  3033.            -a  + s
  3034.  
  3035.   LVariables[s]]
  3036. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3037.  
  3038. LaPlace[ -2 CosIntegral[t / k] CStep[t], t, s ]
  3039. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3040. LTransData[Log[1 + k^2*s^2]/s, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3041.   LVariables[s]]
  3042. ;[o]
  3043.                     2  2
  3044.            Log[1 + k  s ]
  3045. LTransData[--------------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3046.                  s
  3047. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3048.  
  3049. LaPlace[ ( 2 Log[Pi] - 2 CosIntegral[Pi t] ) CStep[t], t, s ]
  3050. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3051. LTransData[Log[Pi^2 + s^2]/s, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3052.   LVariables[s]]
  3053. ;[o]
  3054.                  2    2
  3055.            Log[Pi  + s ]
  3056. LTransData[-------------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3057.                  s
  3058. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3059.  
  3060. LaPlace[ CosIntegral[a t + b] CStep[t], t, s ]
  3061. :[font = message; inactive; preserveAspect; ]
  3062. Transform::incomplete: 
  3063.    The rule base could not compute the forward Laplace transform of 
  3064.     CosIntegral[b + t] CStep[t] with respect to t.
  3065. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3066. MakeLObject[Laplace`LaPlace`Private`SimilarityL[Laplace`LaPlace`Pri\
  3067.      vate`mylaplace[CosIntegral[b + t]*CStep[t], t, s, 
  3068.     {True, True, True, True, False, True, False}, {t}, {s}, 
  3069.     {Dialogue -> True, Simplify -> True}], s, a], s]
  3070. ;[o]
  3071. -Incomplete Laplace Transform-
  3072. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3073.  
  3074. LaPlace[ - ExpIntegralEi[- t / k] CStep[t], t, s ]
  3075. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3076. LTransData[Log[1 + k*s]/s, Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3077.   LVariables[s]]
  3078. ;[o]
  3079.            Log[1 + k s]
  3080. LTransData[------------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3081.                 s
  3082. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3083.  
  3084. LaPlace[ Sin[k t] CStep[t] / t, t, s ]
  3085. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3086. LTransData[ArcTan[k/s], Rminus[Abs[Im[k]]], 
  3087.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3088. ;[o]
  3089.                   k
  3090. LTransData[ArcTan[-], Rminus[Abs[Im[k]]], Rplus[Infinity], 
  3091.                   s
  3092.  
  3093.   LVariables[s]]
  3094. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3095. Alternatively,
  3096. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3097. LaPlace[ k Sinc[k t] CStep[t], t, s ]
  3098. :[font = message; inactive; preserveAspect; ]
  3099. Transform::incomplete: 
  3100.    The rule base could not compute the forward Laplace transform of 
  3101.     CStep[t] Sinc[t] with respect to t.
  3102. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3103. MakeLObject[ScaleT[LForm, Laplace`LaPlace`Private`SimilarityL[Lapl\
  3104.       ace`LaPlace`Private`mylaplace[CStep[t]*Sinc[t], t, s, 
  3105.      {True, True, True, True, False, True, False}, {t}, {s}, 
  3106.      {Dialogue -> True, Simplify -> True}], s, k], k], s]
  3107. ;[o]
  3108. -Incomplete Laplace Transform-
  3109. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3110.  
  3111. LaPlace[ SinIntegral[k t + b] CStep[t], t, s ]
  3112. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3113. LTransData[(E^((b*s)/k)*ArcTan[k/s])/s, Rminus[0], 
  3114.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3115. ;[o]
  3116.             (b s)/k        k
  3117.            E        ArcTan[-]
  3118.                            s
  3119. LTransData[------------------, Rminus[0], Rplus[Infinity], 
  3120.                    s
  3121.  
  3122.   LVariables[s]]
  3123. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3124.  
  3125. LaPlace[ CStep[t - k] / Sqrt[Pi t], t, s ]   (* incorrect *)
  3126. :[font = message; inactive; preserveAspect; ]
  3127. Transform::incomplete: 
  3128.    The rule base could not compute the forward Laplace transform of 
  3129.     Sqrt[Pi] CStep[t]
  3130.     ----------------- with respect to t.
  3131.        Sqrt[k + t]
  3132. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3133. MakeLObject[ScaleT[LForm, Laplace`LaPlace`Private`mylaplace[(Pi^
  3134.         (1/2)*CStep[t])/(k + t)^(1/2), t, s, 
  3135.     {False, False, False, False, False, True, False}, {t}, {s}, 
  3136.     {Dialogue -> True, Simplify -> True}], 1/(E^(k*s)*Pi)], s]
  3137. ;[o]
  3138. -Incomplete Laplace Transform-
  3139. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3140.  
  3141. LaPlace[ Sin[2 k Sqrt[t]] CStep[t] / ( Pi t ), t, s ]
  3142. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3143. LTransData[Erf[k/s^(1/2)], Rminus[DirectedInfinity[-1]], 
  3144.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3145. ;[o]
  3146.                   k
  3147. LTransData[Erf[-------], Rminus[-Infinity], Rplus[Infinity], 
  3148.                Sqrt[s]
  3149.  
  3150.   LVariables[s]]
  3151. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3152.  
  3153. LaPlace[ BesselI[n, a t] CStep[t], t, s ]
  3154. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3155. LTransData[(s - (-a^2 + s^2)^(1/2))^n/(a^n*(-a^2 + s^2)^(1/2)), 
  3156.   Rminus[Abs[Re[a]]], Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3157. ;[o]
  3158.                        2    2  n
  3159.            (s - Sqrt[-a  + s ])
  3160. LTransData[---------------------, Rminus[Abs[Re[a]]], Rplus[Infinity], 
  3161.               n        2    2
  3162.              a  Sqrt[-a  + s ]
  3163.  
  3164.   LVariables[s]]
  3165. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3166.  
  3167. LaPlace[ 2 BesselK[0, 2 Sqrt[2 k t]] CStep[t] / Sqrt[Pi t], t, s ]
  3168. :[font = message; inactive; preserveAspect; ]
  3169. Transform::incomplete: 
  3170.    The rule base could not compute the forward Laplace transform of 
  3171.                                  3/2
  3172.     Sqrt[Pi] Sqrt[t] BesselK[0, 2    Sqrt[k t]] CStep[t]
  3173.      with respect to t.
  3174. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3175. MakeLObject[ScaleT[LForm, IntegrateT[LForm, 
  3176.     Laplace`LaPlace`Private`mylaplace[Pi^(1/2)*t^(1/2)*
  3177.       BesselK[0, 2^(3/2)*(k*t)^(1/2)]*CStep[t], t, s, 
  3178.      {False, False, False, True, False, True, False}, {t}, {s}, 
  3179.      {Dialogue -> True, Simplify -> True}], s, s, 
  3180.     DirectedInfinity[1]], 2/Pi], s]
  3181. ;[o]
  3182. -Incomplete Laplace Transform-
  3183. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3184.  
  3185. LaPlace[ HermiteH[3, Sqrt[t]] CStep[t] / ( 3! Sqrt[Pi] ), t, s ]
  3186. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3187. LTransData[(1 - s)/s^(5/2), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3188.   LVariables[s]]
  3189. ;[o]
  3190.            1 - s
  3191. LTransData[-----, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3192.             5/2
  3193.            s
  3194. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3195. Properties
  3196. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3197. Additivity
  3198. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3199.  
  3200.         The Laplace transform of a(t) + b(t) is A(s), the Laplace transform of a(t), plus B(s), the Laplace transform of b(t).  The new region of convergence contains the intersection of the region of convergence of A(s) and B(s):
  3201. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3202.  
  3203. LaPlace[ Delta[t] + CStep[t - 1], t, s, Dialogue -> All ]
  3204. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3205. L  {CStep[-1 + t] + Delta[t]}
  3206.   t
  3207. which becomes
  3208. L  {CStep[-1 + t]} + L  {Delta[t]}
  3209.   t                    t
  3210. which becomes
  3211. L  {CStep[t]}
  3212.   t
  3213. ------------- + Transform[1, -Infinity, Infinity]
  3214.       s
  3215.      E
  3216. which becomes
  3217.                1
  3218. Transform[1 + ----, 0, Infinity]
  3219.                s
  3220.               E  s
  3221. which becomes
  3222.                1
  3223. Transform[1 + ----, 0, Infinity]
  3224.                s
  3225.               E  s
  3226. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3227. LTransData[1 + 1/(E^s*s), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3228.   LVariables[s]]
  3229. ;[o]
  3230.                 1
  3231. LTransData[1 + ----, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3232.                 s
  3233.                E  s
  3234. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3235. Homogeneity
  3236. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3237.  
  3238.         This property moves all terms not dependent on the time variable outside of the Laplace transform operator with no effect on the region of convergence:
  3239.  
  3240. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3241. LaPlace[ A K CStep[t] / 2, t, s, Dialogue -> All ]
  3242. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3243.     A K CStep[t]
  3244. L  {------------}
  3245.   t      2
  3246. which becomes
  3247. L  {A K CStep[t]}
  3248.   t
  3249. -----------------
  3250.         2
  3251. which becomes
  3252. A L  {K CStep[t]}
  3253.     t
  3254. -----------------
  3255.         2
  3256. which becomes
  3257. A K L  {CStep[t]}
  3258.       t
  3259. -----------------
  3260.         2
  3261. which becomes
  3262.           A K
  3263. Transform[---, 0, Infinity]
  3264.           2 s
  3265. which becomes
  3266.           A K
  3267. Transform[---, 0, Infinity]
  3268.           2 s
  3269. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3270. LTransData[(A*K)/(2*s), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3271.   LVariables[s]]
  3272. ;[o]
  3273.            A K
  3274. LTransData[---, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3275.            2 s
  3276. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3277. Shift-in-Time
  3278. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3279.  
  3280. LaPlace[ Exp[t] CStep[t], t, s ]
  3281. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3282. LTransData[(-1 + s)^(-1), Rminus[1], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3283.   LVariables[s]]
  3284. ;[o]
  3285.              1
  3286. LTransData[------, Rminus[1], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3287.            -1 + s
  3288. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3289. LaPlace[ Exp[t - 7] CStep[t - 7], t, s ]
  3290. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3291. LTransData[1/(E^(7*s)*(-1 + s)), Rminus[1], 
  3292.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3293. ;[o]
  3294.                  1
  3295. LTransData[-------------, Rminus[1], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3296.             7 s
  3297.            E    (-1 + s)
  3298. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3299. Multiplication-by-Exponential
  3300. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3301.  
  3302.         The multiplication of f(t) by exp(a t)  shifts F(s), the Laplace transform of  f(t), to the right by a, and the region of convergence is shifted by the real part of a:
  3303. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3304.  
  3305. LaPlace[ Cos[t] CStep[t], t, s ]
  3306. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3307. LTransData[s/(1 + s^2), Rminus[0], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3308.   LVariables[s]]
  3309. ;[o]
  3310.              s
  3311. LTransData[------, Rminus[0], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3312.                 2
  3313.            1 + s
  3314. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3315.  
  3316. LaPlace[ Exp[a t] Cos[t] CStep[t], t, s ]
  3317. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3318. LTransData[(-a + s)/(1 + (-a + s)^2), Rminus[Re[a]], 
  3319.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3320. ;[o]
  3321.               -a + s
  3322. LTransData[-------------, Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], 
  3323.                        2
  3324.            1 + (-a + s)
  3325.  
  3326.   LVariables[s]]
  3327. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3328. Multiplication-by-Time 
  3329. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3330.  
  3331.         Multiplication in time corresponds to differentiation in the Laplace domain with no effect on the region of convergence:
  3332. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3333.  
  3334. LaPlace[ Exp[a t] CStep[t], t, s ]
  3335. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3336. LTransData[(-a + s)^(-1), Rminus[Re[a]], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3337.   LVariables[s]]
  3338. ;[o]
  3339.              1
  3340. LTransData[------, Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3341.            -a + s
  3342. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3343.  
  3344. LaPlace[ t Exp[a t] CStep[t], t, s ]
  3345. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3346. LTransData[(-a + s)^(-2), Rminus[Re[a]], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3347.   LVariables[s]]
  3348. ;[o]
  3349.                    -2
  3350. LTransData[(-a + s)  , Rminus[Re[a]], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3351. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3352. Sinusoidal Modulation
  3353. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3354.  
  3355. LaPlace[ BesselJ[v, a t] CStep[t], t, s ]
  3356. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3357. LTransData[(-s + (a^2 + s^2)^(1/2))^v/(a^v*(a^2 + s^2)^(1/2)), 
  3358.   Rminus[Abs[Im[a]]], Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3359. ;[o]
  3360.                        2    2  v
  3361.            (-s + Sqrt[a  + s ])
  3362. LTransData[---------------------, Rminus[Abs[Im[a]]], 
  3363.               v       2    2
  3364.              a  Sqrt[a  + s ]
  3365.  
  3366.   Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3367. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3368. LaPlace[ Sin[a t] BesselJ[v, a t] CStep[t], t, s ]
  3369. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3370. LTransData[I/2*(-((I*a - s + (s*(-2*I*a + s))^(1/2))^v/
  3371.         (a^v*(s*(-2*I*a + s))^(1/2))) + 
  3372.      (-I*a - s + (s*(2*I*a + s))^(1/2))^v/(a^v*(s*(2*I*a + s))^(1/2))
  3373.      ), Rminus[Abs[Im[a]]], Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3374. ;[o]
  3375.                                                 v
  3376.            I    (I a - s + Sqrt[s (-2 I a + s)])
  3377. LTransData[- (-(---------------------------------) + 
  3378.            2          v
  3379.                      a  Sqrt[s (-2 I a + s)]
  3380.  
  3381.                                      v
  3382.      (-I a - s + Sqrt[s (2 I a + s)])
  3383.      ---------------------------------), Rminus[Abs[Im[a]]], 
  3384.            v
  3385.           a  Sqrt[s (2 I a + s)]
  3386.  
  3387.   Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3388. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3389. Reversal-in-Time
  3390. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3391.  
  3392. LaPlace[ Exp[t] CStep[t], t, s ]
  3393. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3394. LTransData[(-1 + s)^(-1), Rminus[1], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3395.   LVariables[s]]
  3396. ;[o]
  3397.              1
  3398. LTransData[------, Rminus[1], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3399.            -1 + s
  3400. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3401.  
  3402. LaPlace[ Exp[-t] CStep[-t], t, s ]
  3403. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3404. LTransData[(-1 - s)^(-1), Rminus[DirectedInfinity[-1]], Rplus[-1], 
  3405.   LVariables[s]]
  3406. ;[o]
  3407.              1
  3408. LTransData[------, Rminus[-Infinity], Rplus[-1], LVariables[s]]
  3409.            -1 - s
  3410. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3411. LaPlace[ Exp[-t] CStep[t], t, s ]
  3412. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3413. LTransData[(1 + s)^(-1), Rminus[-1], Rplus[DirectedInfinity[1]], 
  3414.   LVariables[s]]
  3415. ;[o]
  3416.              1
  3417. LTransData[-----, Rminus[-1], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3418.            1 + s
  3419. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3420. Similarity
  3421. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3422.  
  3423. LaPlace[ Delta[t], t, s ]
  3424. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3425. LTransData[1, Rminus[DirectedInfinity[-1]], 
  3426.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3427. ;[o]
  3428. LTransData[1, Rminus[-Infinity], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3429. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3430.  
  3431. LaPlace[ Delta[a t], t, s ]
  3432. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  3433. LTransData[Abs[a]^(-1), Rminus[DirectedInfinity[-1]], 
  3434.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  3435. ;[o]
  3436.              1
  3437. LTransData[------, Rminus[-Infinity], Rplus[Infinity], LVariables[s]]
  3438.            Abs[a]
  3439. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3440. Inverse Laplace Transforms
  3441. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3442.  
  3443.         The inverse Laplace transform rule base is InvLaPlace.  InvLaPlace returns the two-sided continuous-time function f(t) that represents the Laplace transform F(s): 
  3444. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; height = 94; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  3445. %!
  3446. %%Creator: Mathematica
  3447. %%AspectRatio: 1 
  3448. MathPictureStart
  3449. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  3450. % Scaling calculations
  3451. 0.583333 0.0833333 0.833333 0.0833333 [
  3452. [ 0 0 0 0 ]
  3453. [ 1 1 0 0 ]
  3454. ] MathScale
  3455. % Start of Graphics
  3456. 1 setlinecap
  3457. 1 setlinejoin
  3458. newpath
  3459. %%Object: Graphics
  3460. [ ] 0 setdash
  3461. 0 setgray
  3462. gsave
  3463. grestore
  3464. 0 0 moveto
  3465. 1 0 lineto
  3466. 1 1 lineto
  3467. 0 1 lineto
  3468. closepath
  3469. clip
  3470. newpath
  3471. gsave
  3472. 0.0075 setlinewidth
  3473. 0.41667 0.925 moveto
  3474. 0.40417 0.91667 lineto
  3475. 0.39583 0.9 lineto
  3476. 0.39583 0.76667 lineto
  3477. 0.3875 0.75 lineto
  3478. 0.375 0.74167 lineto
  3479. stroke
  3480. newpath
  3481. 0.39583 0.83333 0.01667 0 365.73 arc
  3482. stroke
  3483. gsave
  3484. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3485. [(L)] 0 0.83333 -1 0 Mshowa
  3486. grestore
  3487. gsave
  3488. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3489. [({F\(s\)})] 0.08333 0.83333 -1 0 Mshowa
  3490. grestore
  3491. gsave
  3492. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3493. [(=)] 0.275 0.83333 -1 0 Mshowa
  3494. grestore
  3495. gsave
  3496. /Plain findfont 10 scalefont setfont
  3497. [(-1)] 0.03333 0.88333 -1 0 Mshowa
  3498. grestore
  3499. gsave
  3500. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  3501. [(o)] 0.49167 0.95833 -1 0 Mshowa
  3502. grestore
  3503. gsave
  3504. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  3505. [(a+jo)] 0.5 0.95833 1 0 Mshowa
  3506. grestore
  3507. gsave
  3508. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  3509. [(o)] 0.425 0.70833 -1 0 Mshowa
  3510. grestore
  3511. gsave
  3512. /Plain findfont 12 scalefont setfont
  3513. [(a-jo)] 0.43333 0.70833 1 0 Mshowa
  3514. grestore
  3515. gsave
  3516. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3517. [(F\(s\))] 0.47917 0.83333 -1 0 Mshowa
  3518. grestore
  3519. gsave
  3520. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3521. [(e)] 0.60833 0.83333 -1 0 Mshowa
  3522. grestore
  3523. gsave
  3524. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3525. [(ds)] 0.70833 0.83333 -1 0 Mshowa
  3526. grestore
  3527. gsave
  3528. /Plain findfont 10 scalefont setfont
  3529. [(st)] 0.65 0.875 -1 0 Mshowa
  3530. grestore
  3531. gsave
  3532. /Plain findfont 14 scalefont setfont
  3533. [(\(2\))] 0.91667 0.83333 -1 0 Mshowa
  3534. grestore
  3535. grestore
  3536. % End of Graphics
  3537. MathPictureEnd
  3538. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3539. [Oppenheim and Willsky, 1983].  This is an integral of a function of complex variable s (which is different from the forward Laplace transform definition which involves an integral of real variable t).  In this case, the contour of integration is a vertical line through (a, 0) connected with a semicircle of  infinite radius in the s-plane.
  3540. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3541. Invoking the Inverse Laplace Transform Rule Base
  3542. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3543.         The calling sequence for InvLaPlace is similar to that for LaPlace:
  3544. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3545.  
  3546. InvLaPlace[ 1/s, s, t ]
  3547. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3548. CStep[t]
  3549. ;[o]
  3550. CStep[t]
  3551. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3552.  
  3553. Again, the third argument is optional and defaults to t.  If the time variable is provided, then these options can also be used:
  3554. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3555.  
  3556. Options[ InvLaPlace ]
  3557. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3558. {Apart -> Rational, Dialogue -> True, Simplify -> True, 
  3559.   Laplace`InvLaPlace`Private`Terms -> 10, TransformLookup -> {}}
  3560. ;[o]
  3561. {Apart -> Rational, Dialogue -> True, Simplify -> True, 
  3562.  
  3563.   Laplace`InvLaPlace`Private`Terms -> 10, TransformLookup -> {}}
  3564. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  3565.  
  3566. For the meaning of the Dialogue, TransformLookup, and Simplify options, see the Introduction to the Forward Laplace Transforms section.  The Dialogue -> All option will still cause the rule base to display each step of the transformation process. 
  3567. :[font = subsubtitle; inactive; Cclosed; preserveAspect; left; startGroup; ]
  3568. -- Terms Option
  3569. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3570.         The Terms options specifies how many terms to use if a power series expansion is used.  Setting Terms to False disables the Power Series Strategy for that call to the rule base.  The power series strategy is only used if all other attempts an obtaining the inverse have been tried.
  3571. :[font = subsubtitle; inactive; Cclosed; preserveAspect; left; startGroup; ]
  3572. -- Apart Option
  3573. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3574.         This option is an attempt to work around the way that Mathematica does partial fractions decompositions.  Mathematica requires that the factors be rational numbers.  However, as engineers, there are times that we would like to perform this decomposition with real-valued roots, even though such an expansion violates rigorous mathematics.   When Apart -> Rational, then partial fractions decomposition only occurs when the roots are either rational numbers or symbols.  When Apart -> Real, then partial fractions will be carried out whenever each roots is a floating point number, a rational, or a symbol.  Unfortunately, Apart -> Real means that we have to work around the  Mathematica primitive Apart which results is a very slow partial fractions expansion.
  3575. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3576. Rational One-Dimensional Transforms
  3577. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3578.  
  3579. Inverse transform of a constant:
  3580. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3581.  
  3582. InvLaPlace[ c, s, t ]
  3583. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3584. c*Delta[t]
  3585. ;[o]
  3586. c Delta[t]
  3587. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3588. The next six examples are inverse transformed by the same transform pair (rule):
  3589. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3590. InvLaPlace[ 1/s, s, t ]
  3591. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3592. CStep[t]
  3593. ;[o]
  3594. CStep[t]
  3595. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3596. InvLaPlace[ 1/s^(3/2), s, t ]
  3597. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3598. (2*t^(1/2)*CStep[t])/Pi^(1/2)
  3599. ;[o]
  3600. 2 Sqrt[t] CStep[t]
  3601. ------------------
  3602.      Sqrt[Pi]
  3603. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3604.  
  3605. InvLaPlace[ 1/s^Pi, s, t ]
  3606. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3607. (t^(-1 + Pi)*CStep[t])/Gamma[Pi]
  3608. ;[o]
  3609.  -1 + Pi
  3610. t        CStep[t]
  3611. -----------------
  3612.     Gamma[Pi]
  3613. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3614.  
  3615. InvLaPlace[ 1 / ( s - a ), s, t ]
  3616. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3617. E^(a*t)*CStep[t]
  3618. ;[o]
  3619.  a t
  3620. E    CStep[t]
  3621. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3622.  
  3623. InvLaPlace[ 1 / ( s - a )^2, s, t ]
  3624. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3625. E^(a*t)*t*CStep[t]
  3626. ;[o]
  3627.  a t
  3628. E    t CStep[t]
  3629. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3630.  
  3631. InvLaPlace[ 1 / ( s - a )^Pi, s, t ]
  3632. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3633. (E^(a*t)*t^(-1 + Pi)*CStep[t])/Gamma[Pi]
  3634. ;[o]
  3635.  a t  -1 + Pi
  3636. E    t        CStep[t]
  3637. ----------------------
  3638.       Gamma[Pi]
  3639. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3640. Multiple poles (handled by partial fractions expansion):
  3641. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3642.  
  3643. InvLaPlace[ 1 / ((s - a)(s - b)), s, t ]
  3644. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3645. ( After performing partial fraction expansion on
  3646.           1
  3647.   -----------------
  3648.   (-a + s) (-b + s)
  3649.   using its exact roots:
  3650.          1                  1
  3651.   ---------------- - ---------------- . )
  3652.   (a - b) (-a + s)   (a - b) (-b + s)
  3653. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3654. ((-E^(a*t) + E^(b*t))*CStep[t])/(-a + b)
  3655. ;[o]
  3656.    a t    b t
  3657. (-E    + E   ) CStep[t]
  3658. -----------------------
  3659.         -a + b
  3660. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3661.  
  3662. InvLaPlace[ 1 / ((s - a)(s - b)(s - c)), s, t ]
  3663. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3664. ( After performing partial fraction expansion on
  3665.               1
  3666.   --------------------------
  3667.   (-a + s) (-b + s) (-c + s)
  3668.   using its exact roots:
  3669.              1                          1
  3670.   ------------------------ - ------------------------ - 
  3671.   (a - b) (a - c) (-a + s)   (a - b) (b - c) (-b + s)
  3672.  
  3673.                1
  3674.    ------------------------- . )
  3675.    (a - c) (-b + c) (-c + s)
  3676. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3677. ((-(b*E^(a*t)) + c*E^(a*t) + a*E^(b*t) - c*E^(b*t) - a*E^(c*t) + 
  3678.       b*E^(c*t))*CStep[t])/((-a + b)*(-a + c)*(-b + c))
  3679. ;[o]
  3680.       a t       a t      b t      b t      c t      c t
  3681. (-(b E   ) + c E    + a E    - c E    - a E    + b E   ) CStep[t]
  3682. -----------------------------------------------------------------
  3683.                    (-a + b) (-a + c) (-b + c)
  3684. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3685. Multiple complex-valued poles
  3686. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3687.  
  3688. InvLaPlace[ (s^2 + 3)/(s^2 + 2 s + 2), s, t ]
  3689. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3690. ( After performing partial fraction expansion on
  3691.           2
  3692.      3 + s
  3693.   ------------
  3694.              2
  3695.   2 + 2 s + s
  3696.   using its exact roots:
  3697.            1
  3698.       2 (-(-) + s)
  3699.            2
  3700.   1 - ------------ . )
  3701.                  2
  3702.       2 + 2 s + s
  3703. ( After performing partial fraction expansion on
  3704.       1
  3705.     -(-) + s
  3706.       2
  3707.   ------------
  3708.              2
  3709.   2 + 2 s + s
  3710.   using its exact roots:
  3711.     1    3 I     1    3 I
  3712.   -(-) + ---   -(-) - ---
  3713.     2     4      2     4
  3714.   ---------- + ---------- . )
  3715.   -1 - I - s   -1 + I - s
  3716. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3717. -(E^((-1 - I)*t)*(2 - 3*I + (2 + 3*I)*E^(2*I*t))*CStep[t])/2 + 
  3718.   Delta[t]
  3719. ;[o]
  3720.    (-1 - I) t                       2 I t
  3721. -(E           (2 - 3 I + (2 + 3 I) E     ) CStep[t])
  3722. ---------------------------------------------------- + Delta[t]
  3723.                          2
  3724. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3725. myapart[ fun_, s_ ] :=
  3726.     Block [ {newfun, s0},
  3727.              newfun = fun /. s -> s0;
  3728.              rootlist = Sort[ Solve[ newfun == 0, s0 ] ];
  3729.              numroots = Length[rootlist];
  3730.              denom = Product[ s0 /. rootlist[[i]],
  3731.                                {i, 1, numroots} ];
  3732.              denom ]
  3733. :[font = message; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3734. General::spell1: 
  3735.    Possible spelling error: new symbol name "newfun"
  3736.      is similar to existing symbol "newfuns".
  3737. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3738. InvLaPlace[ 1/(s^2 + 2 s + 2)^2, s, t,
  3739.             Dialogue -> All ]
  3740. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3741.   -1             2 -2
  3742. L   {(2 + 2 s + s )  }
  3743.   s
  3744. which becomes
  3745.   -1             2 -2
  3746. L   {(2 + 2 s + s )  }
  3747.   s
  3748. which becomes
  3749. ( After performing partial fraction expansion on
  3750.               2 -2
  3751.   (2 + 2 s + s )
  3752.   using its exact roots:
  3753.                         I                              I
  3754.                         -                              -
  3755.         -1              4               1              4
  3756.   --------------- - ---------- - --------------- + ---------- . )
  3757.                 2   -1 - I - s                 2   -1 + I - s
  3758.   4 (-1 - I - s)                 4 (-1 + I - s)
  3759.                            I                              I
  3760.                            -                              -
  3761.   -1       -1              4               1              4
  3762. L   {--------------- - ---------- - --------------- + ----------}
  3763.   s                2   -1 - I - s                 2   -1 + I - s
  3764.      4 (-1 - I - s)                 4 (-1 + I - s)
  3765. which becomes
  3766.          -I                             I
  3767.          --                             -
  3768.   -1     4               1              4
  3769. L   {---------- - --------------- + ----------} + 
  3770.   s  -1 - I - s                 2   -1 + I - s
  3771.                   4 (-1 + I - s)
  3772.  
  3773.     -1       -1
  3774.   L   {---------------}
  3775.     s                2
  3776.        4 (-1 - I - s)
  3777. which becomes
  3778.                            I           -1             -2
  3779.                            -         L   {(-1 - I - s)  }
  3780.   -1       -1              4           s
  3781. L   {--------------- + ----------} - -------------------- + 
  3782.   s                2   -1 + I - s             4
  3783.      4 (-1 + I - s)
  3784.  
  3785.            -I
  3786.            --
  3787.     -1     4
  3788.   L   {----------}
  3789.     s  -1 - I - s
  3790. which becomes
  3791.                                                        I
  3792.                                                        -
  3793. -I   -1     1           -1       -1             -1     4
  3794. -- L   {----------} + L   {---------------} + L   {----------} - 
  3795. 4    s  -1 - I - s      s                2      s  -1 + I - s
  3796.                            4 (-1 + I - s)
  3797.  
  3798.     -1            -2
  3799.   L   {(1 + I + s)  }
  3800.     s
  3801.   -------------------
  3802.            4
  3803. which becomes
  3804.                               -1             -2
  3805.    (-1 - I) t               L   {(-1 + I - s)  }
  3806. -(E           t CStep[t])     s
  3807. ------------------------- - -------------------- + 
  3808.             4                        4
  3809.  
  3810.   I   -1     1         I   -1       1
  3811.   - L   {----------} - - L   {-(---------)}
  3812.   4   s  -1 + I - s    4   s    1 + I + s
  3813. which becomes
  3814.                           (-1 - I) t
  3815. I  (-1 - I) t            E           t CStep[t]
  3816. - E           CStep[t] - ---------------------- - 
  3817. 4                                  4
  3818.  
  3819.     -1            -2
  3820.   L   {(1 - I + s)  }
  3821.     s                   I   -1       1
  3822.   ------------------- + - L   {-(---------)}
  3823.            4            4   s    1 - I + s
  3824. which becomes
  3825. I  (-1 - I) t            I  (-1 + I) t
  3826. - E           CStep[t] - - E           CStep[t] - 
  3827. 4                        4
  3828.  
  3829.    (-1 - I) t               (-1 + I) t
  3830.   E           t CStep[t]   E           t CStep[t]
  3831.   ---------------------- - ----------------------
  3832.             4                        4
  3833. which becomes
  3834. I  (-1 - I) t            I  (-1 + I) t
  3835. - E           CStep[t] - - E           CStep[t] - 
  3836. 4                        4
  3837.  
  3838.    (-1 - I) t               (-1 + I) t
  3839.   E           t CStep[t]   E           t CStep[t]
  3840.   ---------------------- - ----------------------
  3841.             4                        4
  3842. which simplifies to
  3843.    (-1 - I) t          2 I t        2 I t
  3844. -(E           (-I + I E      + t + E      t) CStep[t])
  3845. ------------------------------------------------------
  3846.                           4
  3847. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3848. -(E^((-1 - I)*t)*(-I + I*E^(2*I*t) + t + E^(2*I*t)*t)*CStep[t])/4
  3849. ;[o]
  3850.    (-1 - I) t          2 I t        2 I t
  3851. -(E           (-I + I E      + t + E      t) CStep[t])
  3852. ------------------------------------------------------
  3853.                           4
  3854. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3855. Laplace transforms which represent pure sinusoids in the time domain:
  3856. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3857.  
  3858. InvLaPlace[ 1 / ( s^2 + a^2 ), s, t ]
  3859. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3860. (CStep[t]*Sin[(a^2)^(1/2)*t])/(a^2)^(1/2)
  3861. ;[o]
  3862.                    2
  3863. CStep[t] Sin[Sqrt[a ] t]
  3864. ------------------------
  3865.               2
  3866.         Sqrt[a ]
  3867. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3868. InvLaPlace[ s / ( s^2 + a^2 ), s, t ]
  3869. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3870. Cos[(a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  3871. ;[o]
  3872.           2
  3873. Cos[Sqrt[a ] t] CStep[t]
  3874. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3875. InvLaPlace[ 1 / ( s^2 - a^2 ), s, t ]
  3876. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3877. (CStep[t]*Sinh[(a^2)^(1/2)*t])/(a^2)^(1/2)
  3878. ;[o]
  3879.                     2
  3880. CStep[t] Sinh[Sqrt[a ] t]
  3881. -------------------------
  3882.               2
  3883.         Sqrt[a ]
  3884. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3885.  
  3886. InvLaPlace[ s / ( s^2 - a^2 ), s, t ]
  3887. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3888. Cos[(-a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  3889. ;[o]
  3890.            2
  3891. Cos[Sqrt[-a ] t] CStep[t]
  3892. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3893.  
  3894. InvLaPlace[ 1 / ( s^2 ( s^2 + a^2 ) ), s, t ]
  3895. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3896. ( After performing partial fraction expansion on
  3897.        1
  3898.   ------------
  3899.    2   2    2
  3900.   s  (a  + s )
  3901.   using its exact roots:
  3902.     1          1
  3903.   ----- - ------------ . )
  3904.    2  2    2   2    2
  3905.   a  s    a  (a  + s )
  3906. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3907. (CStep[t]*(a^2*t - (a^2)^(1/2)*Sin[(a^2)^(1/2)*t]))/a^4
  3908. ;[o]
  3909.            2           2            2
  3910. CStep[t] (a  t - Sqrt[a ] Sin[Sqrt[a ] t])
  3911. ------------------------------------------
  3912.                      4
  3913.                     a
  3914. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3915.  
  3916. InvLaPlace[ 1 / ( s^2 + a^2 )^2, s, t ]
  3917. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3918. (CStep[t]*(-((a^2)^(1/2)*t*Cos[(a^2)^(1/2)*t]) + Sin[(a^2)^(1/2)*t]))/
  3919.   (2*(a^2)^(3/2))
  3920. ;[o]
  3921.                   2              2                  2
  3922. CStep[t] (-(Sqrt[a ] t Cos[Sqrt[a ] t]) + Sin[Sqrt[a ] t])
  3923. ----------------------------------------------------------
  3924.                             2 3/2
  3925.                         2 (a )
  3926. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3927.  
  3928. InvLaPlace[ s^2 / ( s^2 + a^2 )^2, s, t ]
  3929. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3930. ( After performing partial fraction expansion on
  3931.        2
  3932.       s
  3933.   ----------
  3934.     2    2 2
  3935.   (a  + s )
  3936.   using its exact roots:
  3937.          2
  3938.         a            1
  3939.   -(----------) + ------- . )
  3940.       2    2 2     2    2
  3941.     (a  + s )     a  + s
  3942. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3943. (CStep[t]*(a^2*t*Cos[(a^2)^(1/2)*t] + 
  3944.       (a^2)^(1/2)*Sin[(a^2)^(1/2)*t]))/(2*a^2)
  3945. ;[o]
  3946.            2             2             2            2
  3947. CStep[t] (a  t Cos[Sqrt[a ] t] + Sqrt[a ] Sin[Sqrt[a ] t])
  3948. ----------------------------------------------------------
  3949.                               2
  3950.                            2 a
  3951. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3952.  
  3953. InvLaPlace[ ( s^2 - a^2 ) / ( s^2 + a^2 )^2, s, t ]
  3954. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  3955. ( After performing partial fraction expansion on
  3956.      2    2
  3957.    -a  + s
  3958.   ----------
  3959.     2    2 2
  3960.   (a  + s )
  3961.   using its exact roots:
  3962.         2
  3963.     -2 a          1
  3964.   ---------- + ------- . )
  3965.     2    2 2    2    2
  3966.   (a  + s )    a  + s
  3967. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  3968. t*Cos[(a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  3969. ;[o]
  3970.             2
  3971. t Cos[Sqrt[a ] t] CStep[t]
  3972. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3973. Laplace transforms which represent damped sinusoids in the time domain:
  3974.  
  3975. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3976.  
  3977. InvLaPlace[ 1 / ( (s - a)^2 + b^2 ), s, t ]
  3978. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3979. (E^(a*t)*CStep[t]*Sin[(b^2)^(1/2)*t])/(b^2)^(1/2)
  3980. ;[o]
  3981.  a t                    2
  3982. E    CStep[t] Sin[Sqrt[b ] t]
  3983. -----------------------------
  3984.                 2
  3985.           Sqrt[b ]
  3986. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3987. InvLaPlace[ (s - a) / ( (s - a)^2 + b^2 ), s, t ]
  3988. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3989. E^(a*t)*Cos[(b^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  3990. ;[o]
  3991.  a t           2
  3992. E    Cos[Sqrt[b ] t] CStep[t]
  3993. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  3994. InvLaPlace[ 3 a^2 / ( s^3 + a^3 ), s, t ]
  3995. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  3996. (a^2*CStep[t]*(E^(-((a^3)^(1/3)*t)) - 
  3997.       E^(((a^3)^(1/3)*t)/2)*(Cos[(3^(1/2)*(a^3)^(1/3)*t)/2] - 
  3998.          3^(1/2)*Sin[(3^(1/2)*(a^3)^(1/3)*t)/2])))/(a^3)^(2/3)
  3999. ;[o]
  4000.                    3 1/3
  4001.   2            -((a )    t)
  4002. (a  CStep[t] (E             - 
  4003.  
  4004.           3 1/3                     3 1/3
  4005.        ((a )    t)/2      Sqrt[3] (a )    t
  4006.       E              (Cos[-----------------] - 
  4007.                                   2
  4008.  
  4009.                                3 1/3
  4010.                      Sqrt[3] (a )    t         3 2/3
  4011.          Sqrt[3] Sin[-----------------]))) / (a )
  4012.                              2
  4013. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4014.  
  4015. InvLaPlace[ 4 a^3 / ( s^4 + 4 a^4 ), s, t ]
  4016. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4017. (a^3*CStep[t]*(Cosh[(a^4)^(1/4)*t]*Sin[(a^4)^(1/4)*t] - 
  4018.       Cos[(a^4)^(1/4)*t]*Sinh[(a^4)^(1/4)*t]))/(a^4)^(3/4)
  4019. ;[o]
  4020.   3                  4 1/4          4 1/4
  4021. (a  CStep[t] (Cosh[(a )    t] Sin[(a )    t] - 
  4022.  
  4023.             4 1/4           4 1/4          4 3/4
  4024.       Cos[(a )    t] Sinh[(a )    t])) / (a )
  4025. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4026.  
  4027. InvLaPlace[ s / ( s^4 - a^4 ), s, t ]
  4028. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  4029. (-I*CStep[t]*Sin[((-1)^(1/4)*(a^4)^(1/4)*t)/2^(1/2)]*
  4030.     Sinh[((-1)^(1/4)*(a^4)^(1/4)*t)/2^(1/2)])/(a^4)^(1/2)
  4031. ;[o]
  4032.                     1/4   4 1/4             1/4   4 1/4
  4033.                 (-1)    (a )    t       (-1)    (a )    t
  4034. -I CStep[t] Sin[-----------------] Sinh[-----------------]
  4035.                      Sqrt[2]                 Sqrt[2]
  4036. ----------------------------------------------------------
  4037.                                4
  4038.                          Sqrt[a ]
  4039. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4040. Non-rational One-Dimensional Transforms
  4041. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4042. Square Root Forms
  4043. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4044.     The following four inverse transforms are transformed by the same transform pair (the last inverse transform pair gives the general case):
  4045. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4046.  
  4047. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s] (s + 4) ), s, t ]
  4048. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4049. (CStep[t]*Erfi[2*t^(1/2)])/(2*E^(4*t))
  4050. ;[o]
  4051. CStep[t] Erfi[2 Sqrt[t]]
  4052. ------------------------
  4053.             4 t
  4054.          2 E
  4055. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4056.  
  4057. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s] (s - a^2) ), s, t ]
  4058. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4059. (E^(a^2*t)*CStep[t]*Erf[(a^2)^(1/2)*t^(1/2)])/(a^2)^(1/2)
  4060. ;[o]
  4061.   2
  4062.  a  t                    2
  4063. E     CStep[t] Erf[Sqrt[a ] Sqrt[t]]
  4064. ------------------------------------
  4065.                     2
  4066.               Sqrt[a ]
  4067. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4068. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s] (s + a^2) ), s, t ]
  4069. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4070. (CStep[t]*Erfi[(a^2)^(1/2)*t^(1/2)])/((a^2)^(1/2)*E^(a^2*t))
  4071. ;[o]
  4072.                     2
  4073. CStep[t] Erfi[Sqrt[a ] Sqrt[t]]
  4074. -------------------------------
  4075.                    2
  4076.               2   a  t
  4077.         Sqrt[a ] E
  4078. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4079.  
  4080. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s + b] (s + a) ), s, t ]
  4081. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4082. (CStep[t]*Erf[(-a + b)^(1/2)*t^(1/2)])/((-a + b)^(1/2)*E^(a*t))
  4083. ;[o]
  4084. CStep[t] Erf[Sqrt[-a + b] Sqrt[t]]
  4085. ----------------------------------
  4086.                       a t
  4087.         Sqrt[-a + b] E
  4088. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4089.     The following three inverse transforms are transformed by the same transform pair (the last inverse transform pair gives the general case):
  4090. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4091.  
  4092. InvLaPlace[ Sqrt[s] / ( s + 2 ), s, t ]
  4093. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4094. CStep[t]*(1/(Pi^(1/2)*t^(1/2)) + 
  4095.     (2^(1/2)*Erfi[2^(1/2)*t^(1/2)])/E^(2*t))
  4096. ;[o]
  4097.                  1           Sqrt[2] Erfi[Sqrt[2] Sqrt[t]]
  4098. CStep[t] (---------------- + -----------------------------)
  4099.           Sqrt[Pi] Sqrt[t]                2 t
  4100.                                          E
  4101. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4102.  
  4103. InvLaPlace[ Sqrt[s] / ( s - 4 ), s, t ]
  4104. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4105. CStep[t]*(1/(Pi^(1/2)*t^(1/2)) - 2*E^(4*t)*Erf[2*t^(1/2)])
  4106. ;[o]
  4107.                  1              4 t
  4108. CStep[t] (---------------- - 2 E    Erf[2 Sqrt[t]])
  4109.           Sqrt[Pi] Sqrt[t]
  4110. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4111.  
  4112. InvLaPlace[ Sqrt[s + b] / (s + c), s, t ]
  4113. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4114. CStep[t]*(1/(Pi^(1/2)*t^(1/2)) - 
  4115.     (b - c)^(1/2)*E^((b - c)*t)*Erf[(b - c)^(1/2)*t^(1/2)])
  4116. ;[o]
  4117.                  1
  4118. CStep[t] (---------------- - 
  4119.           Sqrt[Pi] Sqrt[t]
  4120.  
  4121.                  (b - c) t
  4122.     Sqrt[b - c] E          Erf[Sqrt[b - c] Sqrt[t]])
  4123. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4124.     Here are several unrelated examples:
  4125.  
  4126. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4127. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s] + a ), s, t ]
  4128. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4129. CStep[t]*(1/(Pi^(1/2)*t^(1/2)) + a*E^(a^2*t)*(-1 + Erf[a*t^(1/2)]))
  4130. ;[o]
  4131.                                  2
  4132.                  1              a  t
  4133. CStep[t] (---------------- + a E     (-1 + Erf[a Sqrt[t]]))
  4134.           Sqrt[Pi] Sqrt[t]
  4135. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4136.  
  4137. InvLaPlace[ 1 / ( Sqrt[s] ( Sqrt[s] + a ) ), s, t ]
  4138. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  4139. ( After performing partial fraction expansion on
  4140.             1
  4141.   ---------------------
  4142.   (a + Sqrt[s]) Sqrt[s]
  4143.   using its exact roots:
  4144.            1               1
  4145.   -(---------------) + --------- . )
  4146.     a (a + Sqrt[s])    a Sqrt[s]
  4147. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4148. E^(a^2*t)*CStep[t]*(1 - Erf[a*t^(1/2)])
  4149. ;[o]
  4150.   2
  4151.  a  t
  4152. E     CStep[t] (1 - Erf[a Sqrt[t]])
  4153. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4154.  
  4155. InvLaPlace[ 1 / ((s + a) Sqrt[s + b]), s, t ]
  4156. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4157. (CStep[t]*Erf[(-a + b)^(1/2)*t^(1/2)])/((-a + b)^(1/2)*E^(a*t))
  4158. ;[o]
  4159. CStep[t] Erf[Sqrt[-a + b] Sqrt[t]]
  4160. ----------------------------------
  4161.                       a t
  4162.         Sqrt[-a + b] E
  4163. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4164.  
  4165. InvLaPlace[ ( Sqrt[s^2 + a^2] - s )^2 / Sqrt[s^2 + a^2], s, t ]
  4166. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4167. a^2*BesselJ[2, (a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  4168. ;[o]
  4169.  2                  2
  4170. a  BesselJ[2, Sqrt[a ] t] CStep[t]
  4171. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4172.  
  4173. InvLaPlace[ ( s - Sqrt[s^2 - a^2] )^Pi / Sqrt[s^2 - a^2], s, t ]
  4174. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4175. (a^2)^(Pi/2)*BesselI[Pi, (a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  4176. ;[o]
  4177.   2 Pi/2                   2
  4178. (a )     BesselI[Pi, Sqrt[a ] t] CStep[t]
  4179. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4180.  
  4181. InvLaPlace[ 1 / Sqrt[ s^2 + a^2 ], s, t ]
  4182. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  4183. BesselJ[0, (a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  4184. ;[o]
  4185.                  2
  4186. BesselJ[0, Sqrt[a ] t] CStep[t]
  4187. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4188. Properties
  4189. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4190. Additivity
  4191. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4192.  
  4193.         The Laplace transform of A(s) + B(s) is a(t), the inverse Laplace transform of A(s), plus b(t), the inverse Laplace transform of B(s):
  4194. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4195.  
  4196. InvLaPlace[ 1 + Exp[-s] / s, s, t, Dialogue -> All ]
  4197. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  4198.   -1      1
  4199. L   {1 + ----}
  4200.   s       s
  4201.          E  s
  4202. which becomes
  4203.   -1        -1  1
  4204. L   {1} + L   {----}
  4205.   s         s   s
  4206.                E  s
  4207. which becomes
  4208.               -1 1
  4209. Delta[t] + {L   {-}}
  4210.               s  s  t -> -1 + t
  4211. which becomes
  4212. Delta[t] + {CStep[t]}
  4213.                      t -> -1 + t
  4214. which becomes
  4215. CStep[-1 + t] + Delta[t]
  4216. which becomes
  4217. CStep[-1 + t] + Delta[t]
  4218. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4219. CStep[-1 + t] + Delta[t]
  4220. ;[o]
  4221. CStep[-1 + t] + Delta[t]
  4222. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4223. Homogeneity
  4224. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4225.  
  4226.         This property moves all terms not dependent on the time variable outside of the Laplace transform operator with no effect on the region of convergence:
  4227.  
  4228. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4229. InvLaPlace[ A K / (2 s), s, t ]
  4230. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4231. (A*K*CStep[t])/2
  4232. ;[o]
  4233. A K CStep[t]
  4234. ------------
  4235.      2
  4236. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4237. Multiplication-by-Exponential
  4238. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4239.  
  4240.         The multiplication of f(t) by exp(a t)  shifts F(s), the Laplace transform of  f(t), to the right by a, and the region of convergence is shifted by the real part of a:
  4241. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4242.  
  4243. InvLaPlace[ s / ( 1 + s^2 ), s, t ]
  4244. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4245. Cos[t]*CStep[t]
  4246. ;[o]
  4247. Cos[t] CStep[t]
  4248. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4249.  
  4250. InvLaPlace[ Exp[-a s] s / ( 1 + s^2 ), s, t ]
  4251. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4252. Cos[a - t]*CStep[-a + t]
  4253. ;[o]
  4254. Cos[a - t] CStep[-a + t]
  4255. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4256. Similarity
  4257. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4258.  
  4259. InvLaPlace[ 1 / ((s + a) Sqrt[s + b]), s, t ]
  4260. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4261. (CStep[t]*Erf[(-a + b)^(1/2)*t^(1/2)])/((-a + b)^(1/2)*E^(a*t))
  4262. ;[o]
  4263. CStep[t] Erf[Sqrt[-a + b] Sqrt[t]]
  4264. ----------------------------------
  4265.                       a t
  4266.         Sqrt[-a + b] E
  4267. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4268.  
  4269. InvLaPlace[ 1 / ((c s + a) Sqrt[c s + b]), s, t ]
  4270. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4271. (CStep[t]*Erf[((-a + b)/c)^(1/2)*t^(1/2)])/
  4272.   (((-a + b)/c)^(1/2)*c^(3/2)*E^((a*t)/c))
  4273. ;[o]
  4274.                   -a + b
  4275. CStep[t] Erf[Sqrt[------] Sqrt[t]]
  4276.                     c
  4277. ----------------------------------
  4278.          -a + b   3/2  (a t)/c
  4279.     Sqrt[------] c    E
  4280.            c
  4281. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4282. Pole-in-Denominator
  4283. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4284.  
  4285. InvLaPlace[ 1 / ( s - 1 ), s, t ]
  4286. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4287. E^t*CStep[t]
  4288. ;[o]
  4289.  t
  4290. E  CStep[t]
  4291. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4292. InvLaPlace[ Log[1 + s], s, t ]
  4293. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4294. -(CStep[t]/(E^t*t))
  4295. ;[o]
  4296.   CStep[t]
  4297. -(--------)
  4298.      t
  4299.     E  t
  4300. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4301.  
  4302. InvLaPlace[ Log[1 + s] / (( s + a )(s + b)), s, t ]
  4303. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  4304. ( After performing partial fraction expansion on
  4305.     Log[1 + s]
  4306.   ---------------
  4307.   (a + s) (b + s)
  4308.   using its exact roots:
  4309.       Log[1 + s]         Log[1 + s]
  4310.   -(---------------) + --------------- . )
  4311.     (a - b) (a + s)    (a - b) (b + s)
  4312. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4313. (CStep[t]*(-(E^(b*t)*ExpIntegralEi[(-1 + a)*t]) + 
  4314.       E^(a*t)*ExpIntegralEi[(-1 + b)*t] + E^(b*t)*Log[1 - a] - 
  4315.       E^(a*t)*Log[1 - b]))/((-a + b)*E^((a + b)*t))
  4316. ;[o]
  4317.               b t
  4318. (CStep[t] (-(E    ExpIntegralEi[(-1 + a) t]) + 
  4319.  
  4320.        a t                              b t
  4321.       E    ExpIntegralEi[(-1 + b) t] + E    Log[1 - a] - 
  4322.  
  4323.        a t                           (a + b) t
  4324.       E    Log[1 - b])) / ((-a + b) E         )
  4325. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4326. Multiplication-by-Frequency
  4327. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4328.  
  4329.         Multiplication in frequency corresponds to differentiation in the time domain:
  4330. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4331.  
  4332. InvLaPlace[ 1 / Sqrt[(s + a)(s - a)], s, t ]
  4333. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4334. BesselJ[0, I*(a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  4335. ;[o]
  4336.                    2
  4337. BesselJ[0, I Sqrt[a ] t] CStep[t]
  4338. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4339.  
  4340. InvLaPlace[ s / Sqrt[(s + a)(s - a)], s, t ]
  4341. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4342. I/2*(a^2)^(1/2)*(BesselJ[-1, I*(a^2)^(1/2)*t] - 
  4343.      BesselJ[1, I*(a^2)^(1/2)*t])*CStep[t] + Delta[t]
  4344. ;[o]
  4345. I       2                       2                          2
  4346. - Sqrt[a ] (BesselJ[-1, I Sqrt[a ] t] - BesselJ[1, I Sqrt[a ] t]) 
  4347. 2
  4348.  
  4349.    CStep[t] + Delta[t]
  4350. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4351.  
  4352. LaPlace[ -a BesselI[1, - a t] CStep[t] + Delta[t], t, s ]
  4353. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4354. LTransData[s/(-a^2 + s^2)^(1/2), Rminus[Abs[Re[a]]], 
  4355.   Rplus[DirectedInfinity[1]], LVariables[s]]
  4356. ;[o]
  4357.                  s
  4358. LTransData[--------------, Rminus[Abs[Re[a]]], Rplus[Infinity], 
  4359.                   2    2
  4360.            Sqrt[-a  + s ]
  4361.  
  4362.   LVariables[s]]
  4363. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4364. Division-by-Frequency
  4365. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4366.  
  4367.         Multiplication in frequency corresponds to differentiation in the time domain:
  4368. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4369.  
  4370. InvLaPlace[ 1 / Sqrt[(s + a)(s - a)], s, t ]
  4371. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4372. BesselJ[0, I*(a^2)^(1/2)*t]*CStep[t]
  4373. ;[o]
  4374.                    2
  4375. BesselJ[0, I Sqrt[a ] t] CStep[t]
  4376. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4377.  
  4378. InvLaPlace[ 1 / (s Sqrt[(s + a)(s - a)]), s, t ]
  4379. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4380. t*CStep[t]*HypergeometricPFQ[{1/2}, {1, 3/2}, (a^2*t^2)/4]
  4381. ;[o]
  4382.                                            2  2
  4383.                               1       3   a  t
  4384. t CStep[t] HypergeometricPFQ[{-}, {1, -}, -----]
  4385.                               2       2     4
  4386. :[font = text; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  4387.  
  4388. This is the integration of the Bessel function Io(- a t) with respect to t. 
  4389. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4390. Differential Equation With Zero-Valued Initial Conditions
  4391. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  4392. Example 
  4393. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4394.  
  4395.         The first example is a second-order linear constant-coefficient differential equation whose initial conditions are zero:  y'(0) = y(0) = 0.  The Mathematica object LSolve requires two arguments:  the differential equation to be solved and what to solve for.
  4396. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4397.  
  4398. LSolve[ y''[t] + 3/2 y'[t] + 1/2 y[t] == Exp[a t] CStep[t], y[t] ]
  4399. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  4400. Solving for y[t] in the differential equation
  4401.   y[t]   3 y'[t]             a t
  4402.   ---- + ------- + y''[t] = E    CStep[t]
  4403.    2        2
  4404.   subject to the initial conditions
  4405.   being zero.
  4406. After taking the Laplace transform of both sides
  4407. and solving for the transform of y[t]:
  4408.             1
  4409.   ----------------------
  4410.    1   3 s    2
  4411.   (- + --- + s ) (s - a)
  4412.    2    2
  4413. Inverse transforming this gives y[t]:
  4414. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4415. (2*(1 + 2*a - 2*E^(t/2) - 2*a*E^(t/2) + E^(t + a*t))*CStep[t])/
  4416.   ((1 + 3*a + 2*a^2)*E^t)
  4417. ;[o]
  4418.                 t/2        t/2    t + a t
  4419. 2 (1 + 2 a - 2 E    - 2 a E    + E       ) CStep[t]
  4420. ---------------------------------------------------
  4421.                               2   t
  4422.                 (1 + 3 a + 2 a ) E
  4423. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4424.  
  4425. Implied here is that we are looking for the solution to the differential equation when t > 0.  Therefore, we can drop the continuous-time step functions since they are 1 for t > 0.
  4426. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4427. Verifying a Solution
  4428. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4429.  
  4430. We can now use Mathematica to verify the solution, which we assign to the function ysol:
  4431. :[font = input; initialization; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4432. *)
  4433.  
  4434. ysol =    4 Exp[-t/2] / (-1 - 2 a) -
  4435.         2 Exp[-t] / (-1 - a) -
  4436.         2 Exp[a t] / (-1 - 3 a - 2 a^2 )
  4437. (*
  4438. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4439. -2/((-1 - a)*E^t) + 4/((-1 - 2*a)*E^(t/2)) - 
  4440.   (2*E^(a*t))/(-1 - 3*a - 2*a^2)
  4441. ;[o]
  4442.                                        a t
  4443.     -2               4              2 E
  4444. ----------- + --------------- - ---------------
  4445.           t               t/2                 2
  4446. (-1 - a) E    (-1 - 2 a) E      -1 - 3 a - 2 a
  4447. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4448.  
  4449.  We can now check to make sure that the initial conditions are valid.  First, we check to see if y(0+) = 0:
  4450. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4451. ysol /. t -> 0
  4452.  
  4453. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4454. 4/(-1 - 2*a) - 2/(-1 - a) - 2/(-1 - 3*a - 2*a^2)
  4455. ;[o]
  4456.    4         2             2
  4457. -------- - ------ - ---------------
  4458. -1 - 2 a   -1 - a                 2
  4459.                     -1 - 3 a - 2 a
  4460. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4461.  
  4462. This may not look like zero but it actually is:
  4463.  
  4464. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4465.  
  4466. Simplify[ ysol /. t -> 0 ]
  4467. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4468. 0
  4469. ;[o]
  4470. 0
  4471. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4472.  
  4473. Second, we can check to make sure that y'(0+) equals zero:
  4474. :[font = input; initialization; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4475. *)
  4476.  
  4477. Simplify[ D[ ysol, t ] /. t -> 0 ]
  4478. (*
  4479. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  4480. 0
  4481. ;[o]
  4482. 0
  4483. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4484.  
  4485. Next, we can try to verify that the solution satisfies the differential equation:
  4486. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4487.  
  4488. ysolprime = D[ ysol, t];
  4489. ysoldblprime = D[ ysolprime, t];
  4490.  
  4491. Simplify[ ysoldblprime + 3/2 ysolprime + 1/2 ysol ]
  4492. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4493. E^(a*t)
  4494. ;[o]
  4495.  a t
  4496. E
  4497. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4498. Analyzing a Solution
  4499. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4500.  
  4501.         Now that we shown that the solution is correct, we can analyze the solution.  First, there are certain values of the free parameter a which yield an unbounded (and hence invalid) solution.  This occurs when any of the denominator terms become zero, which happens when a = -1/2 and when a = -1.  This can be seen from inspection, but Mathematica can determine these values in the general case.  First, we convert the solution from its form of Plus[term1, term2, term3] to a list of the form List[term1, term2, term3] by using Apply and then solve the cases where each denominator is zero using Solve:
  4502. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4503.  
  4504. Map[ Solve[Denominator[#1] == 0, a]&, Apply[List, ysol] ]
  4505. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  4506. {{{a -> -1}}, {{a -> -1/2}}, {{a -> -1}, {a -> -1/2}}}
  4507. ;[o]
  4508.                        1                         1
  4509. {{{a -> -1}}, {{a -> -(-)}}, {{a -> -1}, {a -> -(-)}}}
  4510.                        2                         2
  4511. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4512. Interpreting a Solution
  4513. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  4514.  
  4515.         In this case, ysol is assigned to the solution of the differential equation automatically by the notebook.  To plot the solution, then, we simplify plot ysol for different values of a:
  4516. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  4517.  
  4518. Plot3D[ ysol, {t, 0, 2}, {a, -1.2, -2}, AxesLabel->{"t", "a", "y(t)"} ]
  4519. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  4520. %!
  4521. %%Creator: Mathematica
  4522. %%AspectRatio: 0.82055 
  4523. MathPictureStart
  4524. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  4525. % Scaling calculations
  4526. 0.024936 0.99742 -0.039634 0.99742 [
  4527. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Msboxa
  4528. [(0.5)] 0.1926 0.20316 0.96648 1 Msboxa
  4529. [(1)] 0.34275 0.1441 0.862234 1 Msboxa
  4530. [(1.5)] 0.50241 0.08133 0.757988 1 Msboxa
  4531. [(2)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Msboxa
  4532. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Msboxa
  4533. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Msboxa
  4534. [(-1.8)] 0.76901 0.13994 -1 0.364128 Msboxa
  4535. [(-1.6)] 0.83872 0.24668 -1 0.340282 Msboxa
  4536. [(-1.4)] 0.90133 0.34257 -1 0.319367 Msboxa
  4537. [(-1.2)] 0.95788 0.42917 -1 0.300874 Msboxa
  4538. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Msboxa
  4539. [(0)] 0.04785 0.27682 1 -0.390596 Msboxa
  4540. [(0.1)] 0.03855 0.33507 1 -0.379075 Msboxa
  4541. [(0.2)] 0.02888 0.39568 1 -0.367037 Msboxa
  4542. [(0.3)] 0.01881 0.45881 1 -0.354448 Msboxa
  4543. [(y\(t\))] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Msboxa
  4544. [ 0 0 0 0 ]
  4545. [ 1 0.820555 0 0 ]
  4546. ] MathScale
  4547. % Start of Graphics
  4548. 1 setlinecap
  4549. 1 setlinejoin
  4550. newpath
  4551. %%Object: SurfaceGraphics
  4552. [ ] 0 setdash
  4553. 0 setgray
  4554. gsave
  4555. gsave
  4556. 0.002 setlinewidth
  4557. 0.06024 0.26735 moveto
  4558. 0.67932 0.02494 lineto
  4559. stroke
  4560. grestore
  4561. gsave
  4562. 0.002 setlinewidth
  4563. 0.06024 0.26735 moveto
  4564. 0.0648 0.2716 lineto
  4565. stroke
  4566. grestore
  4567. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Mshowa
  4568. gsave
  4569. 0.002 setlinewidth
  4570. 0.20126 0.21213 moveto
  4571. 0.2056 0.21661 lineto
  4572. stroke
  4573. grestore
  4574. [(0.5)] 0.1926 0.20316 0.96648 1 Mshowa
  4575. gsave
  4576. 0.002 setlinewidth
  4577. 0.35089 0.15354 moveto
  4578. 0.35496 0.15826 lineto
  4579. stroke
  4580. grestore
  4581. [(1)] 0.34275 0.1441 0.862234 1 Mshowa
  4582. gsave
  4583. 0.002 setlinewidth
  4584. 0.50994 0.09126 moveto
  4585. 0.5137 0.09623 lineto
  4586. stroke
  4587. grestore
  4588. [(1.5)] 0.50241 0.08133 0.757988 1 Mshowa
  4589. gsave
  4590. 0.002 setlinewidth
  4591. 0.67932 0.02494 moveto
  4592. 0.68274 0.03015 lineto
  4593. stroke
  4594. grestore
  4595. [(2)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Mshowa
  4596. gsave
  4597. 0.001 setlinewidth
  4598. 0.08779 0.25656 moveto
  4599. 0.0905 0.25914 lineto
  4600. stroke
  4601. grestore
  4602. gsave
  4603. 0.001 setlinewidth
  4604. 0.11567 0.24565 moveto
  4605. 0.11835 0.24825 lineto
  4606. stroke
  4607. grestore
  4608. gsave
  4609. 0.001 setlinewidth
  4610. 0.14386 0.2346 moveto
  4611. 0.14652 0.23724 lineto
  4612. stroke
  4613. grestore
  4614. gsave
  4615. 0.001 setlinewidth
  4616. 0.17239 0.22343 moveto
  4617. 0.17502 0.22609 lineto
  4618. stroke
  4619. grestore
  4620. gsave
  4621. 0.001 setlinewidth
  4622. 0.23048 0.20069 moveto
  4623. 0.23305 0.20341 lineto
  4624. stroke
  4625. grestore
  4626. gsave
  4627. 0.001 setlinewidth
  4628. 0.26004 0.18911 moveto
  4629. 0.26258 0.19186 lineto
  4630. stroke
  4631. grestore
  4632. gsave
  4633. 0.001 setlinewidth
  4634. 0.28996 0.1774 moveto
  4635. 0.29247 0.18017 lineto
  4636. stroke
  4637. grestore
  4638. gsave
  4639. 0.001 setlinewidth
  4640. 0.32024 0.16554 moveto
  4641. 0.32272 0.16835 lineto
  4642. stroke
  4643. grestore
  4644. gsave
  4645. 0.001 setlinewidth
  4646. 0.38192 0.14139 moveto
  4647. 0.38433 0.14425 lineto
  4648. stroke
  4649. grestore
  4650. gsave
  4651. 0.001 setlinewidth
  4652. 0.41333 0.12909 moveto
  4653. 0.4157 0.13198 lineto
  4654. stroke
  4655. grestore
  4656. gsave
  4657. 0.001 setlinewidth
  4658. 0.44513 0.11664 moveto
  4659. 0.44747 0.11956 lineto
  4660. stroke
  4661. grestore
  4662. gsave
  4663. 0.001 setlinewidth
  4664. 0.47733 0.10403 moveto
  4665. 0.47963 0.10698 lineto
  4666. stroke
  4667. grestore
  4668. gsave
  4669. 0.001 setlinewidth
  4670. 0.54296 0.07833 moveto
  4671. 0.54518 0.08134 lineto
  4672. stroke
  4673. grestore
  4674. gsave
  4675. 0.001 setlinewidth
  4676. 0.5764 0.06524 moveto
  4677. 0.57857 0.06828 lineto
  4678. stroke
  4679. grestore
  4680. gsave
  4681. 0.001 setlinewidth
  4682. 0.61027 0.05198 moveto
  4683. 0.6124 0.05505 lineto
  4684. stroke
  4685. grestore
  4686. gsave
  4687. 0.001 setlinewidth
  4688. 0.64457 0.03854 moveto
  4689. 0.64666 0.04164 lineto
  4690. stroke
  4691. grestore
  4692. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Mshowa
  4693. grestore
  4694. gsave
  4695. gsave
  4696. 0.002 setlinewidth
  4697. 0.67932 0.02494 moveto
  4698. 0.94594 0.43277 lineto
  4699. stroke
  4700. grestore
  4701. gsave
  4702. 0.002 setlinewidth
  4703. 0.67932 0.02494 moveto
  4704. 0.67352 0.02721 lineto
  4705. stroke
  4706. grestore
  4707. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Mshowa
  4708. gsave
  4709. 0.002 setlinewidth
  4710. 0.7573 0.14421 moveto
  4711. 0.75144 0.14634 lineto
  4712. stroke
  4713. grestore
  4714. [(-1.8)] 0.76901 0.13994 -1 0.364128 Mshowa
  4715. gsave
  4716. 0.002 setlinewidth
  4717. 0.82692 0.2507 moveto
  4718. 0.82101 0.25271 lineto
  4719. stroke
  4720. grestore
  4721. [(-1.6)] 0.83872 0.24668 -1 0.340282 Mshowa
  4722. gsave
  4723. 0.002 setlinewidth
  4724. 0.88945 0.34636 moveto
  4725. 0.88352 0.34826 lineto
  4726. stroke
  4727. grestore
  4728. [(-1.4)] 0.90133 0.34257 -1 0.319367 Mshowa
  4729. gsave
  4730. 0.002 setlinewidth
  4731. 0.94594 0.43277 moveto
  4732. 0.93997 0.43456 lineto
  4733. stroke
  4734. grestore
  4735. [(-1.2)] 0.95788 0.42917 -1 0.300874 Mshowa
  4736. gsave
  4737. 0.001 setlinewidth
  4738. 0.69566 0.04992 moveto
  4739. 0.69217 0.05127 lineto
  4740. stroke
  4741. grestore
  4742. gsave
  4743. 0.001 setlinewidth
  4744. 0.71161 0.07432 moveto
  4745. 0.70811 0.07565 lineto
  4746. stroke
  4747. grestore
  4748. gsave
  4749. 0.001 setlinewidth
  4750. 0.72719 0.09816 moveto
  4751. 0.72369 0.09947 lineto
  4752. stroke
  4753. grestore
  4754. gsave
  4755. 0.001 setlinewidth
  4756. 0.74242 0.12145 moveto
  4757. 0.73891 0.12274 lineto
  4758. stroke
  4759. grestore
  4760. gsave
  4761. 0.001 setlinewidth
  4762. 0.77184 0.16646 moveto
  4763. 0.76832 0.16772 lineto
  4764. stroke
  4765. grestore
  4766. gsave
  4767. 0.001 setlinewidth
  4768. 0.78607 0.18822 moveto
  4769. 0.78254 0.18947 lineto
  4770. stroke
  4771. grestore
  4772. gsave
  4773. 0.001 setlinewidth
  4774. 0.79998 0.2095 moveto
  4775. 0.79645 0.21074 lineto
  4776. stroke
  4777. grestore
  4778. gsave
  4779. 0.001 setlinewidth
  4780. 0.81359 0.23032 moveto
  4781. 0.81006 0.23154 lineto
  4782. stroke
  4783. grestore
  4784. gsave
  4785. 0.001 setlinewidth
  4786. 0.83995 0.27064 moveto
  4787. 0.83641 0.27183 lineto
  4788. stroke
  4789. grestore
  4790. gsave
  4791. 0.001 setlinewidth
  4792. 0.85272 0.29017 moveto
  4793. 0.84917 0.29135 lineto
  4794. stroke
  4795. grestore
  4796. gsave
  4797. 0.001 setlinewidth
  4798. 0.86522 0.30929 moveto
  4799. 0.86166 0.31045 lineto
  4800. stroke
  4801. grestore
  4802. gsave
  4803. 0.001 setlinewidth
  4804. 0.87746 0.32802 moveto
  4805. 0.8739 0.32917 lineto
  4806. stroke
  4807. grestore
  4808. gsave
  4809. 0.001 setlinewidth
  4810. 0.90121 0.36434 moveto
  4811. 0.89764 0.36546 lineto
  4812. stroke
  4813. grestore
  4814. gsave
  4815. 0.001 setlinewidth
  4816. 0.91272 0.38196 moveto
  4817. 0.90915 0.38307 lineto
  4818. stroke
  4819. grestore
  4820. gsave
  4821. 0.001 setlinewidth
  4822. 0.92402 0.39923 moveto
  4823. 0.92044 0.40033 lineto
  4824. stroke
  4825. grestore
  4826. gsave
  4827. 0.001 setlinewidth
  4828. 0.93508 0.41616 moveto
  4829. 0.93151 0.41725 lineto
  4830. stroke
  4831. grestore
  4832. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Mshowa
  4833. grestore
  4834. gsave
  4835. gsave
  4836. 0.002 setlinewidth
  4837. 0.06024 0.26735 moveto
  4838. 0.02494 0.49015 lineto
  4839. stroke
  4840. grestore
  4841. gsave
  4842. 0.002 setlinewidth
  4843. 0.05946 0.27229 moveto
  4844. 0.06527 0.27002 lineto
  4845. stroke
  4846. grestore
  4847. [(0)] 0.04785 0.27682 1 -0.390596 Mshowa
  4848. gsave
  4849. 0.002 setlinewidth
  4850. 0.05021 0.33065 moveto
  4851. 0.05604 0.32844 lineto
  4852. stroke
  4853. grestore
  4854. [(0.1)] 0.03855 0.33507 1 -0.379075 Mshowa
  4855. gsave
  4856. 0.002 setlinewidth
  4857. 0.04059 0.39139 moveto
  4858. 0.04644 0.38924 lineto
  4859. stroke
  4860. grestore
  4861. [(0.2)] 0.02888 0.39568 1 -0.367037 Mshowa
  4862. gsave
  4863. 0.002 setlinewidth
  4864. 0.03056 0.45465 moveto
  4865. 0.03644 0.45256 lineto
  4866. stroke
  4867. grestore
  4868. [(0.3)] 0.01881 0.45881 1 -0.354448 Mshowa
  4869. gsave
  4870. 0.001 setlinewidth
  4871. 0.05764 0.28378 moveto
  4872. 0.06113 0.28242 lineto
  4873. stroke
  4874. grestore
  4875. gsave
  4876. 0.001 setlinewidth
  4877. 0.0558 0.29536 moveto
  4878. 0.05929 0.29401 lineto
  4879. stroke
  4880. grestore
  4881. gsave
  4882. 0.001 setlinewidth
  4883. 0.05395 0.30703 moveto
  4884. 0.05745 0.30569 lineto
  4885. stroke
  4886. grestore
  4887. gsave
  4888. 0.001 setlinewidth
  4889. 0.05209 0.31879 moveto
  4890. 0.05558 0.31746 lineto
  4891. stroke
  4892. grestore
  4893. gsave
  4894. 0.001 setlinewidth
  4895. 0.04832 0.3426 moveto
  4896. 0.05182 0.34128 lineto
  4897. stroke
  4898. grestore
  4899. gsave
  4900. 0.001 setlinewidth
  4901. 0.04641 0.35465 moveto
  4902. 0.04991 0.35334 lineto
  4903. stroke
  4904. grestore
  4905. gsave
  4906. 0.001 setlinewidth
  4907. 0.04448 0.3668 moveto
  4908. 0.04799 0.36549 lineto
  4909. stroke
  4910. grestore
  4911. gsave
  4912. 0.001 setlinewidth
  4913. 0.04254 0.37904 moveto
  4914. 0.04605 0.37775 lineto
  4915. stroke
  4916. grestore
  4917. gsave
  4918. 0.001 setlinewidth
  4919. 0.03861 0.40383 moveto
  4920. 0.04213 0.40255 lineto
  4921. stroke
  4922. grestore
  4923. gsave
  4924. 0.001 setlinewidth
  4925. 0.03663 0.41638 moveto
  4926. 0.04014 0.41511 lineto
  4927. stroke
  4928. grestore
  4929. gsave
  4930. 0.001 setlinewidth
  4931. 0.03462 0.42903 moveto
  4932. 0.03814 0.42776 lineto
  4933. stroke
  4934. grestore
  4935. gsave
  4936. 0.001 setlinewidth
  4937. 0.0326 0.44178 moveto
  4938. 0.03612 0.44053 lineto
  4939. stroke
  4940. grestore
  4941. gsave
  4942. 0.001 setlinewidth
  4943. 0.02851 0.46761 moveto
  4944. 0.03203 0.46637 lineto
  4945. stroke
  4946. grestore
  4947. gsave
  4948. 0.001 setlinewidth
  4949. 0.02643 0.48069 moveto
  4950. 0.02997 0.47946 lineto
  4951. stroke
  4952. grestore
  4953. [(y\(t\))] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Mshowa
  4954. grestore
  4955. 0 0 moveto
  4956. 1 0 lineto
  4957. 1 0.82055 lineto
  4958. 0 0.82055 lineto
  4959. closepath
  4960. clip
  4961. newpath
  4962. gsave
  4963. 0.002 setlinewidth
  4964. 0.06024 0.26735 moveto
  4965. 0.02494 0.49015 lineto
  4966. stroke
  4967. 0.02494 0.49015 moveto
  4968. 0.40296 0.79562 lineto
  4969. stroke
  4970. 0.40296 0.79562 moveto
  4971. 0.41001 0.59401 lineto
  4972. stroke
  4973. 0.41001 0.59401 moveto
  4974. 0.06024 0.26735 lineto
  4975. stroke
  4976. 0.67932 0.02494 moveto
  4977. 0.94594 0.43277 lineto
  4978. stroke
  4979. 0.94594 0.43277 moveto
  4980. 0.97506 0.64585 lineto
  4981. stroke
  4982. 0.97506 0.64585 moveto
  4983. 0.69286 0.25814 lineto
  4984. stroke
  4985. 0.69286 0.25814 moveto
  4986. 0.67932 0.02494 lineto
  4987. stroke
  4988. 0.06024 0.26735 moveto
  4989. 0.02494 0.49015 lineto
  4990. stroke
  4991. 0.02494 0.49015 moveto
  4992. 0.69286 0.25814 lineto
  4993. stroke
  4994. 0.69286 0.25814 moveto
  4995. 0.67932 0.02494 lineto
  4996. stroke
  4997. 0.67932 0.02494 moveto
  4998. 0.06024 0.26735 lineto
  4999. stroke
  5000. 0.41001 0.59401 moveto
  5001. 0.94594 0.43277 lineto
  5002. stroke
  5003. 0.94594 0.43277 moveto
  5004. 0.97506 0.64585 lineto
  5005. stroke
  5006. 0.97506 0.64585 moveto
  5007. 0.40296 0.79562 lineto
  5008. stroke
  5009. 0.40296 0.79562 moveto
  5010. 0.41001 0.59401 lineto
  5011. stroke
  5012. grestore
  5013. gsave
  5014. 0.607 0.726 0.929 setrgbcolor
  5015. 0.0015 setlinewidth
  5016. 0.38895 0.57908 0.40985 0.59854 0.44467 0.59279 0.42404 0.57308 Metetra
  5017. 0.489 0.682 0.952 setrgbcolor
  5018. 0.42404 0.57308 0.44467 0.59279 0.47997 0.59421 0.45958 0.57423 Metetra
  5019. 0.396 0.638 0.953 setrgbcolor
  5020. 0.45958 0.57423 0.47997 0.59421 0.51602 0.60018 0.49585 0.57985 Metetra
  5021. 0.344 0.61 0.948 setrgbcolor
  5022. 0.49585 0.57985 0.51602 0.60018 0.55298 0.60872 0.53303 0.58795 Metetra
  5023. 0.331 0.599 0.945 setrgbcolor
  5024. 0.53303 0.58795 0.55298 0.60872 0.59094 0.61833 0.57121 0.59701 Metetra
  5025. 0.346 0.603 0.944 setrgbcolor
  5026. 0.57121 0.59701 0.59094 0.61833 0.62992 0.62788 0.61043 0.6059 Metetra
  5027. 0.379 0.616 0.944 setrgbcolor
  5028. 0.61043 0.6059 0.62992 0.62788 0.66992 0.63653 0.65068 0.61379 Metetra
  5029. 0.419 0.631 0.942 setrgbcolor
  5030. 0.65068 0.61379 0.66992 0.63653 0.71091 0.64366 0.69192 0.62008 Metetra
  5031. 0.461 0.645 0.938 setrgbcolor
  5032. 0.69192 0.62008 0.71091 0.64366 0.75283 0.64887 0.73412 0.62439 Metetra
  5033. 0.499 0.658 0.931 setrgbcolor
  5034. 0.73412 0.62439 0.75283 0.64887 0.79563 0.65187 0.77721 0.62646 Metetra
  5035. 0.534 0.669 0.924 setrgbcolor
  5036. 0.77721 0.62646 0.79563 0.65187 0.83925 0.65255 0.82112 0.62617 Metetra
  5037. 0.563 0.677 0.915 setrgbcolor
  5038. 0.82112 0.62617 0.83925 0.65255 0.8836 0.65083 0.8658 0.62349 Metetra
  5039. 0.588 0.683 0.907 setrgbcolor
  5040. 0.8658 0.62349 0.8836 0.65083 0.92865 0.64677 0.91118 0.61848 Metetra
  5041. 0.609 0.688 0.899 setrgbcolor
  5042. 0.91118 0.61848 0.92865 0.64677 0.97432 0.64043 0.9572 0.61121 Metetra
  5043. 0.607 0.726 0.929 setrgbcolor
  5044. 0.36752 0.55912 0.38895 0.57908 0.42404 0.57308 0.40288 0.55286 Metetra
  5045. 0.49 0.682 0.951 setrgbcolor
  5046. 0.40288 0.55286 0.42404 0.57308 0.45958 0.57423 0.43865 0.55373 Metetra
  5047. 0.4 0.64 0.953 setrgbcolor
  5048. 0.43865 0.55373 0.45958 0.57423 0.49585 0.57985 0.47515 0.559 Metetra
  5049. 0.35 0.613 0.949 setrgbcolor
  5050. 0.47515 0.559 0.49585 0.57985 0.53303 0.58795 0.51255 0.56664 Metetra
  5051. 0.34 0.604 0.946 setrgbcolor
  5052. 0.51255 0.56664 0.53303 0.58795 0.57121 0.59701 0.55096 0.57514 Metetra
  5053. 0.357 0.609 0.945 setrgbcolor
  5054. 0.55096 0.57514 0.57121 0.59701 0.61043 0.6059 0.59042 0.58336 Metetra
  5055. 0.39 0.621 0.945 setrgbcolor
  5056. 0.59042 0.58336 0.61043 0.6059 0.65068 0.61379 0.63092 0.5905 Metetra
  5057. 0.429 0.636 0.942 setrgbcolor
  5058. 0.63092 0.5905 0.65068 0.61379 0.69192 0.62008 0.67244 0.59596 Metetra
  5059. 0.47 0.651 0.938 setrgbcolor
  5060. 0.67244 0.59596 0.69192 0.62008 0.73412 0.62439 0.71492 0.59938 Metetra
  5061. 0.507 0.663 0.932 setrgbcolor
  5062. 0.71492 0.59938 0.73412 0.62439 0.77721 0.62646 0.75831 0.60053 Metetra
  5063. 0.541 0.673 0.924 setrgbcolor
  5064. 0.75831 0.60053 0.77721 0.62646 0.82112 0.62617 0.80254 0.5993 Metetra
  5065. 0.569 0.681 0.916 setrgbcolor
  5066. 0.80254 0.5993 0.82112 0.62617 0.8658 0.62349 0.84755 0.59568 Metetra
  5067. 0.593 0.688 0.908 setrgbcolor
  5068. 0.84755 0.59568 0.8658 0.62349 0.91118 0.61848 0.89328 0.58974 Metetra
  5069. 0.613 0.693 0.9 setrgbcolor
  5070. 0.89328 0.58974 0.91118 0.61848 0.9572 0.61121 0.93968 0.58158 Metetra
  5071. 0.607 0.726 0.929 setrgbcolor
  5072. 0.34552 0.53864 0.36752 0.55912 0.40288 0.55286 0.38116 0.53211 Metetra
  5073. 0.492 0.683 0.951 setrgbcolor
  5074. 0.38116 0.53211 0.40288 0.55286 0.43865 0.55373 0.41717 0.53268 Metetra
  5075. 0.404 0.642 0.953 setrgbcolor
  5076. 0.41717 0.53268 0.43865 0.55373 0.47515 0.559 0.45389 0.53758 Metetra
  5077. 0.357 0.617 0.949 setrgbcolor
  5078. 0.45389 0.53758 0.47515 0.559 0.51255 0.56664 0.49152 0.54476 Metetra
  5079. 0.348 0.609 0.947 setrgbcolor
  5080. 0.49152 0.54476 0.51255 0.56664 0.55096 0.57514 0.53016 0.55269 Metetra
  5081. 0.366 0.615 0.946 setrgbcolor
  5082. 0.53016 0.55269 0.55096 0.57514 0.59042 0.58336 0.56986 0.56025 Metetra
  5083. 0.4 0.627 0.945 setrgbcolor
  5084. 0.56986 0.56025 0.59042 0.58336 0.63092 0.5905 0.61063 0.56663 Metetra
  5085. 0.439 0.642 0.943 setrgbcolor
  5086. 0.61063 0.56663 0.63092 0.5905 0.67244 0.59596 0.65243 0.57127 Metetra
  5087. 0.478 0.656 0.938 setrgbcolor
  5088. 0.65243 0.57127 0.67244 0.59596 0.71492 0.59938 0.69521 0.57381 Metetra
  5089. 0.515 0.668 0.932 setrgbcolor
  5090. 0.69521 0.57381 0.71492 0.59938 0.75831 0.60053 0.73891 0.57405 Metetra
  5091. 0.547 0.678 0.924 setrgbcolor
  5092. 0.73891 0.57405 0.75831 0.60053 0.80254 0.5993 0.78348 0.5719 Metetra
  5093. 0.575 0.686 0.916 setrgbcolor
  5094. 0.78348 0.5719 0.80254 0.5993 0.84755 0.59568 0.82884 0.56736 Metetra
  5095. 0.598 0.692 0.908 setrgbcolor
  5096. 0.82884 0.56736 0.84755 0.59568 0.89328 0.58974 0.87494 0.56052 Metetra
  5097. 0.617 0.697 0.901 setrgbcolor
  5098. 0.87494 0.56052 0.89328 0.58974 0.93968 0.58158 0.92173 0.55148 Metetra
  5099. 0.607 0.726 0.929 setrgbcolor
  5100. 0.32295 0.51762 0.34552 0.53864 0.38116 0.53211 0.35886 0.51081 Metetra
  5101. 0.493 0.683 0.951 setrgbcolor
  5102. 0.35886 0.51081 0.38116 0.53211 0.41717 0.53268 0.39512 0.51107 Metetra
  5103. 0.407 0.644 0.953 setrgbcolor
  5104. 0.39512 0.51107 0.41717 0.53268 0.45389 0.53758 0.43206 0.5156 Metetra
  5105. 0.363 0.62 0.95 setrgbcolor
  5106. 0.43206 0.5156 0.45389 0.53758 0.49152 0.54476 0.46991 0.5223 Metetra
  5107. 0.357 0.614 0.948 setrgbcolor
  5108. 0.46991 0.5223 0.49152 0.54476 0.53016 0.55269 0.50879 0.52965 Metetra
  5109. 0.376 0.62 0.947 setrgbcolor
  5110. 0.50879 0.52965 0.53016 0.55269 0.56986 0.56025 0.54875 0.53653 Metetra
  5111. 0.409 0.632 0.946 setrgbcolor
  5112. 0.54875 0.53653 0.56986 0.56025 0.61063 0.56663 0.58978 0.54215 Metetra
  5113. 0.448 0.647 0.943 setrgbcolor
  5114. 0.58978 0.54215 0.61063 0.56663 0.65243 0.57127 0.63187 0.54597 Metetra
  5115. 0.486 0.66 0.938 setrgbcolor
  5116. 0.63187 0.54597 0.65243 0.57127 0.69521 0.57381 0.67496 0.54764 Metetra
  5117. 0.522 0.672 0.932 setrgbcolor
  5118. 0.67496 0.54764 0.69521 0.57381 0.73891 0.57405 0.71899 0.54698 Metetra
  5119. 0.553 0.682 0.924 setrgbcolor
  5120. 0.71899 0.54698 0.73891 0.57405 0.78348 0.5719 0.76391 0.54393 Metetra
  5121. 0.58 0.69 0.916 setrgbcolor
  5122. 0.76391 0.54393 0.78348 0.5719 0.82884 0.56736 0.80964 0.53849 Metetra
  5123. 0.602 0.696 0.909 setrgbcolor
  5124. 0.80964 0.53849 0.82884 0.56736 0.87494 0.56052 0.85613 0.53076 Metetra
  5125. 0.621 0.701 0.902 setrgbcolor
  5126. 0.85613 0.53076 0.87494 0.56052 0.92173 0.55148 0.90332 0.52087 Metetra
  5127. 0.607 0.726 0.929 setrgbcolor
  5128. 0.29977 0.49604 0.32295 0.51762 0.35886 0.51081 0.33596 0.48893 Metetra
  5129. 0.495 0.684 0.951 setrgbcolor
  5130. 0.33596 0.48893 0.35886 0.51081 0.39512 0.51107 0.37246 0.48888 Metetra
  5131. 0.411 0.646 0.954 setrgbcolor
  5132. 0.37246 0.48888 0.39512 0.51107 0.43206 0.5156 0.40963 0.49301 Metetra
  5133. 0.37 0.623 0.95 setrgbcolor
  5134. 0.40963 0.49301 0.43206 0.5156 0.46991 0.5223 0.44771 0.49922 Metetra
  5135. 0.365 0.618 0.948 setrgbcolor
  5136. 0.44771 0.49922 0.46991 0.5223 0.50879 0.52965 0.48683 0.50599 Metetra
  5137. 0.385 0.624 0.948 setrgbcolor
  5138. 0.48683 0.50599 0.50879 0.52965 0.54875 0.53653 0.52704 0.51219 Metetra
  5139. 0.418 0.637 0.946 setrgbcolor
  5140. 0.52704 0.51219 0.54875 0.53653 0.58978 0.54215 0.56835 0.51705 Metetra
  5141. 0.456 0.651 0.943 setrgbcolor
  5142. 0.56835 0.51705 0.58978 0.54215 0.63187 0.54597 0.61074 0.52004 Metetra
  5143. 0.494 0.665 0.938 setrgbcolor
  5144. 0.61074 0.52004 0.63187 0.54597 0.67496 0.54764 0.65415 0.52085 Metetra
  5145. 0.529 0.676 0.932 setrgbcolor
  5146. 0.65415 0.52085 0.67496 0.54764 0.71899 0.54698 0.69853 0.5193 Metetra
  5147. 0.559 0.686 0.924 setrgbcolor
  5148. 0.69853 0.5193 0.71899 0.54698 0.76391 0.54393 0.7438 0.51535 Metetra
  5149. 0.585 0.693 0.917 setrgbcolor
  5150. 0.7438 0.51535 0.76391 0.54393 0.80964 0.53849 0.78992 0.50903 Metetra
  5151. 0.606 0.699 0.909 setrgbcolor
  5152. 0.78992 0.50903 0.80964 0.53849 0.85613 0.53076 0.83682 0.50043 Metetra
  5153. 0.624 0.704 0.903 setrgbcolor
  5154. 0.83682 0.50043 0.85613 0.53076 0.90332 0.52087 0.88444 0.4897 Metetra
  5155. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5156. 0.27596 0.47387 0.29977 0.49604 0.33596 0.48893 0.31244 0.46645 Metetra
  5157. 0.496 0.685 0.951 setrgbcolor
  5158. 0.31244 0.46645 0.33596 0.48893 0.37246 0.48888 0.34917 0.46607 Metetra
  5159. 0.415 0.647 0.954 setrgbcolor
  5160. 0.34917 0.46607 0.37246 0.48888 0.40963 0.49301 0.38657 0.46979 Metetra
  5161. 0.376 0.626 0.951 setrgbcolor
  5162. 0.38657 0.46979 0.40963 0.49301 0.44771 0.49922 0.42488 0.47551 Metetra
  5163. 0.373 0.622 0.949 setrgbcolor
  5164. 0.42488 0.47551 0.44771 0.49922 0.48683 0.50599 0.46424 0.48167 Metetra
  5165. 0.393 0.629 0.948 setrgbcolor
  5166. 0.46424 0.48167 0.48683 0.50599 0.52704 0.51219 0.50472 0.48719 Metetra
  5167. 0.427 0.642 0.947 setrgbcolor
  5168. 0.50472 0.48719 0.52704 0.51219 0.56835 0.51705 0.54632 0.49128 Metetra
  5169. 0.464 0.656 0.943 setrgbcolor
  5170. 0.54632 0.49128 0.56835 0.51705 0.61074 0.52004 0.58901 0.49346 Metetra
  5171. 0.501 0.669 0.938 setrgbcolor
  5172. 0.58901 0.49346 0.61074 0.52004 0.65415 0.52085 0.63275 0.4934 Metetra
  5173. 0.535 0.68 0.932 setrgbcolor
  5174. 0.63275 0.4934 0.65415 0.52085 0.69853 0.5193 0.67748 0.49097 Metetra
  5175. 0.564 0.689 0.924 setrgbcolor
  5176. 0.67748 0.49097 0.69853 0.5193 0.7438 0.51535 0.72314 0.48613 Metetra
  5177. 0.589 0.697 0.917 setrgbcolor
  5178. 0.72314 0.48613 0.7438 0.51535 0.78992 0.50903 0.76966 0.47893 Metetra
  5179. 0.61 0.703 0.91 setrgbcolor
  5180. 0.76966 0.47893 0.78992 0.50903 0.83682 0.50043 0.81698 0.46947 Metetra
  5181. 0.627 0.707 0.903 setrgbcolor
  5182. 0.81698 0.46947 0.83682 0.50043 0.88444 0.4897 0.86506 0.45792 Metetra
  5183. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5184. 0.2515 0.4511 0.27596 0.47387 0.31244 0.46645 0.28826 0.44336 Metetra
  5185. 0.498 0.685 0.951 setrgbcolor
  5186. 0.28826 0.44336 0.31244 0.46645 0.34917 0.46607 0.32524 0.44262 Metetra
  5187. 0.419 0.649 0.954 setrgbcolor
  5188. 0.32524 0.44262 0.34917 0.46607 0.38657 0.46979 0.36286 0.44593 Metetra
  5189. 0.382 0.629 0.951 setrgbcolor
  5190. 0.36286 0.44593 0.38657 0.46979 0.42488 0.47551 0.40141 0.45113 Metetra
  5191. 0.38 0.626 0.95 setrgbcolor
  5192. 0.40141 0.45113 0.42488 0.47551 0.46424 0.48167 0.44101 0.45668 Metetra
  5193. 0.402 0.633 0.949 setrgbcolor
  5194. 0.44101 0.45668 0.46424 0.48167 0.50472 0.48719 0.48176 0.4615 Metetra
  5195. 0.435 0.646 0.947 setrgbcolor
  5196. 0.48176 0.4615 0.50472 0.48719 0.54632 0.49128 0.52365 0.46482 Metetra
  5197. 0.472 0.66 0.943 setrgbcolor
  5198. 0.52365 0.46482 0.54632 0.49128 0.58901 0.49346 0.56666 0.46617 Metetra
  5199. 0.508 0.673 0.938 setrgbcolor
  5200. 0.56666 0.46617 0.58901 0.49346 0.63275 0.4934 0.61074 0.46526 Metetra
  5201. 0.541 0.684 0.932 setrgbcolor
  5202. 0.61074 0.46526 0.63275 0.4934 0.67748 0.49097 0.65584 0.46195 Metetra
  5203. 0.569 0.693 0.924 setrgbcolor
  5204. 0.65584 0.46195 0.67748 0.49097 0.72314 0.48613 0.70189 0.45623 Metetra
  5205. 0.593 0.7 0.917 setrgbcolor
  5206. 0.70189 0.45623 0.72314 0.48613 0.76966 0.47893 0.74883 0.44815 Metetra
  5207. 0.614 0.706 0.91 setrgbcolor
  5208. 0.74883 0.44815 0.76966 0.47893 0.81698 0.46947 0.7966 0.43785 Metetra
  5209. 0.63 0.71 0.904 setrgbcolor
  5210. 0.7966 0.43785 0.81698 0.46947 0.86506 0.45792 0.84514 0.42547 Metetra
  5211. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5212. 0.22636 0.42769 0.2515 0.4511 0.28826 0.44336 0.26341 0.41961 Metetra
  5213. 0.499 0.686 0.951 setrgbcolor
  5214. 0.26341 0.41961 0.28826 0.44336 0.32524 0.44262 0.30062 0.41851 Metetra
  5215. 0.422 0.651 0.954 setrgbcolor
  5216. 0.30062 0.41851 0.32524 0.44262 0.36286 0.44593 0.33848 0.42138 Metetra
  5217. 0.387 0.632 0.952 setrgbcolor
  5218. 0.33848 0.42138 0.36286 0.44593 0.40141 0.45113 0.37725 0.42605 Metetra
  5219. 0.387 0.63 0.95 setrgbcolor
  5220. 0.37725 0.42605 0.40141 0.45113 0.44101 0.45668 0.41711 0.43098 Metetra
  5221. 0.41 0.638 0.949 setrgbcolor
  5222. 0.41711 0.43098 0.44101 0.45668 0.48176 0.4615 0.45812 0.43509 Metetra
  5223. 0.443 0.65 0.947 setrgbcolor
  5224. 0.45812 0.43509 0.48176 0.4615 0.52365 0.46482 0.50031 0.43764 Metetra
  5225. 0.479 0.664 0.943 setrgbcolor
  5226. 0.50031 0.43764 0.52365 0.46482 0.56666 0.46617 0.54365 0.43816 Metetra
  5227. 0.515 0.676 0.938 setrgbcolor
  5228. 0.54365 0.43816 0.56666 0.46617 0.61074 0.46526 0.58809 0.43638 Metetra
  5229. 0.546 0.687 0.931 setrgbcolor
  5230. 0.58809 0.43638 0.61074 0.46526 0.65584 0.46195 0.63357 0.4322 Metetra
  5231. 0.574 0.696 0.924 setrgbcolor
  5232. 0.63357 0.4322 0.65584 0.46195 0.70189 0.45623 0.68002 0.4256 Metetra
  5233. 0.597 0.703 0.917 setrgbcolor
  5234. 0.68002 0.4256 0.70189 0.45623 0.74883 0.44815 0.7274 0.41666 Metetra
  5235. 0.617 0.708 0.911 setrgbcolor
  5236. 0.7274 0.41666 0.74883 0.44815 0.7966 0.43785 0.77563 0.40551 Metetra
  5237. 0.633 0.713 0.905 setrgbcolor
  5238. 0.77563 0.40551 0.7966 0.43785 0.84514 0.42547 0.82466 0.39231 Metetra
  5239. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5240. 0.20051 0.40362 0.22636 0.42769 0.26341 0.41961 0.23784 0.39518 Metetra
  5241. 0.5 0.686 0.95 setrgbcolor
  5242. 0.23784 0.39518 0.26341 0.41961 0.30062 0.41851 0.2753 0.39371 Metetra
  5243. 0.426 0.652 0.954 setrgbcolor
  5244. 0.2753 0.39371 0.30062 0.41851 0.33848 0.42138 0.31338 0.39612 Metetra
  5245. 0.393 0.635 0.952 setrgbcolor
  5246. 0.31338 0.39612 0.33848 0.42138 0.37725 0.42605 0.35239 0.40025 Metetra
  5247. 0.394 0.633 0.95 setrgbcolor
  5248. 0.35239 0.40025 0.37725 0.42605 0.41711 0.43098 0.3925 0.40454 Metetra
  5249. 0.417 0.641 0.949 setrgbcolor
  5250. 0.3925 0.40454 0.41711 0.43098 0.45812 0.43509 0.43379 0.40793 Metetra
  5251. 0.45 0.654 0.947 setrgbcolor
  5252. 0.43379 0.40793 0.45812 0.43509 0.50031 0.43764 0.47628 0.40969 Metetra
  5253. 0.486 0.668 0.943 setrgbcolor
  5254. 0.47628 0.40969 0.50031 0.43764 0.54365 0.43816 0.51995 0.40937 Metetra
  5255. 0.521 0.68 0.938 setrgbcolor
  5256. 0.51995 0.40937 0.54365 0.43816 0.58809 0.43638 0.56476 0.40673 Metetra
  5257. 0.552 0.69 0.931 setrgbcolor
  5258. 0.56476 0.40673 0.58809 0.43638 0.63357 0.4322 0.61063 0.40167 Metetra
  5259. 0.578 0.699 0.924 setrgbcolor
  5260. 0.61063 0.40167 0.63357 0.4322 0.68002 0.4256 0.65751 0.39419 Metetra
  5261. 0.601 0.706 0.917 setrgbcolor
  5262. 0.65751 0.39419 0.68002 0.4256 0.7274 0.41666 0.70533 0.38439 Metetra
  5263. 0.62 0.711 0.911 setrgbcolor
  5264. 0.70533 0.38439 0.7274 0.41666 0.77563 0.40551 0.75404 0.3724 Metetra
  5265. 0.635 0.716 0.905 setrgbcolor
  5266. 0.75404 0.3724 0.77563 0.40551 0.82466 0.39231 0.80359 0.35839 Metetra
  5267. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5268. 0.17391 0.37886 0.20051 0.40362 0.23784 0.39518 0.21154 0.37005 Metetra
  5269. 0.502 0.687 0.95 setrgbcolor
  5270. 0.21154 0.37005 0.23784 0.39518 0.2753 0.39371 0.24924 0.36818 Metetra
  5271. 0.429 0.654 0.954 setrgbcolor
  5272. 0.24924 0.36818 0.2753 0.39371 0.31338 0.39612 0.28755 0.37012 Metetra
  5273. 0.398 0.638 0.952 setrgbcolor
  5274. 0.28755 0.37012 0.31338 0.39612 0.35239 0.40025 0.32679 0.37369 Metetra
  5275. 0.401 0.637 0.951 setrgbcolor
  5276. 0.32679 0.37369 0.35239 0.40025 0.3925 0.40454 0.36715 0.37733 Metetra
  5277. 0.424 0.645 0.95 setrgbcolor
  5278. 0.36715 0.37733 0.3925 0.40454 0.43379 0.40793 0.40873 0.37998 Metetra
  5279. 0.457 0.658 0.947 setrgbcolor
  5280. 0.40873 0.37998 0.43379 0.40793 0.47628 0.40969 0.45153 0.38094 Metetra
  5281. 0.493 0.671 0.943 setrgbcolor
  5282. 0.45153 0.38094 0.47628 0.40969 0.51995 0.40937 0.49554 0.37979 Metetra
  5283. 0.526 0.683 0.937 setrgbcolor
  5284. 0.49554 0.37979 0.51995 0.40937 0.56476 0.40673 0.54072 0.37628 Metetra
  5285. 0.556 0.693 0.931 setrgbcolor
  5286. 0.54072 0.37628 0.56476 0.40673 0.61063 0.40167 0.587 0.37033 Metetra
  5287. 0.582 0.701 0.924 setrgbcolor
  5288. 0.587 0.37033 0.61063 0.40167 0.65751 0.39419 0.63431 0.36197 Metetra
  5289. 0.604 0.708 0.917 setrgbcolor
  5290. 0.63431 0.36197 0.65751 0.39419 0.70533 0.38439 0.68261 0.3513 Metetra
  5291. 0.623 0.714 0.911 setrgbcolor
  5292. 0.68261 0.3513 0.70533 0.38439 0.75404 0.3724 0.73181 0.33847 Metetra
  5293. 0.638 0.718 0.906 setrgbcolor
  5294. 0.73181 0.33847 0.75404 0.3724 0.80359 0.35839 0.78189 0.32364 Metetra
  5295. 0.608 0.726 0.929 setrgbcolor
  5296. 0.14655 0.35337 0.17391 0.37886 0.21154 0.37005 0.18446 0.34419 Metetra
  5297. 0.503 0.687 0.95 setrgbcolor
  5298. 0.18446 0.34419 0.21154 0.37005 0.24924 0.36818 0.2224 0.3419 Metetra
  5299. 0.432 0.656 0.954 setrgbcolor
  5300. 0.2224 0.3419 0.24924 0.36818 0.28755 0.37012 0.26094 0.34335 Metetra
  5301. 0.404 0.64 0.952 setrgbcolor
  5302. 0.26094 0.34335 0.28755 0.37012 0.32679 0.37369 0.30041 0.34633 Metetra
  5303. 0.407 0.64 0.951 setrgbcolor
  5304. 0.30041 0.34633 0.32679 0.37369 0.36715 0.37733 0.34103 0.3493 Metetra
  5305. 0.431 0.649 0.95 setrgbcolor
  5306. 0.34103 0.3493 0.36715 0.37733 0.40873 0.37998 0.38289 0.3512 Metetra
  5307. 0.464 0.661 0.947 setrgbcolor
  5308. 0.38289 0.3512 0.40873 0.37998 0.45153 0.38094 0.42601 0.35136 Metetra
  5309. 0.499 0.674 0.943 setrgbcolor
  5310. 0.42601 0.35136 0.45153 0.38094 0.49554 0.37979 0.47038 0.34935 Metetra
  5311. 0.532 0.686 0.937 setrgbcolor
  5312. 0.47038 0.34935 0.49554 0.37979 0.54072 0.37628 0.51594 0.34496 Metetra
  5313. 0.561 0.696 0.931 setrgbcolor
  5314. 0.51594 0.34496 0.54072 0.37628 0.587 0.37033 0.56264 0.33813 Metetra
  5315. 0.586 0.704 0.924 setrgbcolor
  5316. 0.56264 0.33813 0.587 0.37033 0.63431 0.36197 0.6104 0.32889 Metetra
  5317. 0.608 0.711 0.917 setrgbcolor
  5318. 0.6104 0.32889 0.63431 0.36197 0.68261 0.3513 0.65918 0.31734 Metetra
  5319. 0.625 0.716 0.911 setrgbcolor
  5320. 0.65918 0.31734 0.68261 0.3513 0.73181 0.33847 0.7089 0.30366 Metetra
  5321. 0.64 0.72 0.906 setrgbcolor
  5322. 0.7089 0.30366 0.73181 0.33847 0.78189 0.32364 0.75952 0.288 Metetra
  5323. 0.609 0.726 0.928 setrgbcolor
  5324. 0.11838 0.32714 0.14655 0.35337 0.18446 0.34419 0.15658 0.31755 Metetra
  5325. 0.504 0.688 0.95 setrgbcolor
  5326. 0.15658 0.31755 0.18446 0.34419 0.2224 0.3419 0.19476 0.31482 Metetra
  5327. 0.436 0.657 0.954 setrgbcolor
  5328. 0.19476 0.31482 0.2224 0.3419 0.26094 0.34335 0.23352 0.31576 Metetra
  5329. 0.409 0.643 0.953 setrgbcolor
  5330. 0.23352 0.31576 0.26094 0.34335 0.30041 0.34633 0.27323 0.31814 Metetra
  5331. 0.414 0.643 0.951 setrgbcolor
  5332. 0.27323 0.31814 0.30041 0.34633 0.34103 0.3493 0.31411 0.32042 Metetra
  5333. 0.438 0.652 0.95 setrgbcolor
  5334. 0.31411 0.32042 0.34103 0.3493 0.38289 0.3512 0.35626 0.32156 Metetra
  5335. 0.471 0.665 0.947 setrgbcolor
  5336. 0.35626 0.32156 0.38289 0.3512 0.42601 0.35136 0.3997 0.3209 Metetra
  5337. 0.505 0.677 0.943 setrgbcolor
  5338. 0.3997 0.3209 0.42601 0.35136 0.47038 0.34935 0.44442 0.31802 Metetra
  5339. 0.537 0.689 0.937 setrgbcolor
  5340. 0.44442 0.31802 0.47038 0.34935 0.51594 0.34496 0.49038 0.31274 Metetra
  5341. 0.566 0.698 0.93 setrgbcolor
  5342. 0.49038 0.31274 0.51594 0.34496 0.56264 0.33813 0.53751 0.30501 Metetra
  5343. 0.59 0.706 0.924 setrgbcolor
  5344. 0.53751 0.30501 0.56264 0.33813 0.6104 0.32889 0.58574 0.29488 Metetra
  5345. 0.611 0.713 0.918 setrgbcolor
  5346. 0.58574 0.29488 0.6104 0.32889 0.65918 0.31734 0.63501 0.28246 Metetra
  5347. 0.628 0.718 0.912 setrgbcolor
  5348. 0.63501 0.28246 0.65918 0.31734 0.7089 0.30366 0.68526 0.26791 Metetra
  5349. 0.642 0.722 0.907 setrgbcolor
  5350. 0.68526 0.26791 0.7089 0.30366 0.75952 0.288 0.73645 0.25142 Metetra
  5351. 0.609 0.726 0.928 setrgbcolor
  5352. 0.08936 0.30012 0.11838 0.32714 0.15658 0.31755 0.12786 0.29011 Metetra
  5353. 0.506 0.689 0.95 setrgbcolor
  5354. 0.12786 0.29011 0.15658 0.31755 0.19476 0.31482 0.16627 0.28692 Metetra
  5355. 0.439 0.659 0.954 setrgbcolor
  5356. 0.16627 0.28692 0.19476 0.31482 0.23352 0.31576 0.20525 0.28733 Metetra
  5357. 0.414 0.645 0.953 setrgbcolor
  5358. 0.20525 0.28733 0.23352 0.31576 0.27323 0.31814 0.2452 0.28909 Metetra
  5359. 0.42 0.646 0.951 setrgbcolor
  5360. 0.2452 0.28909 0.27323 0.31814 0.31411 0.32042 0.28634 0.29066 Metetra
  5361. 0.444 0.655 0.95 setrgbcolor
  5362. 0.28634 0.29066 0.31411 0.32042 0.35626 0.32156 0.32878 0.29101 Metetra
  5363. 0.477 0.668 0.947 setrgbcolor
  5364. 0.32878 0.29101 0.35626 0.32156 0.3997 0.3209 0.37255 0.28951 Metetra
  5365. 0.51 0.68 0.942 setrgbcolor
  5366. 0.37255 0.28951 0.3997 0.3209 0.44442 0.31802 0.41764 0.28575 Metetra
  5367. 0.542 0.691 0.937 setrgbcolor
  5368. 0.41764 0.28575 0.44442 0.31802 0.49038 0.31274 0.464 0.27957 Metetra
  5369. 0.57 0.701 0.93 setrgbcolor
  5370. 0.464 0.27957 0.49038 0.31274 0.53751 0.30501 0.51157 0.27094 Metetra
  5371. 0.593 0.709 0.924 setrgbcolor
  5372. 0.51157 0.27094 0.53751 0.30501 0.58574 0.29488 0.56028 0.2599 Metetra
  5373. 0.613 0.715 0.918 setrgbcolor
  5374. 0.56028 0.2599 0.58574 0.29488 0.63501 0.28246 0.61007 0.24659 Metetra
  5375. 0.63 0.72 0.912 setrgbcolor
  5376. 0.61007 0.24659 0.63501 0.28246 0.68526 0.26791 0.66087 0.23117 Metetra
  5377. 0.643 0.724 0.907 setrgbcolor
  5378. 0.66087 0.23117 0.68526 0.26791 0.73645 0.25142 0.71264 0.21383 Metetra
  5379. 0.609 0.726 0.928 setrgbcolor
  5380. 0.05946 0.27229 0.08936 0.30012 0.12786 0.29011 0.09825 0.26182 Metetra
  5381. 0.507 0.689 0.95 setrgbcolor
  5382. 0.09825 0.26182 0.12786 0.29011 0.16627 0.28692 0.1369 0.25816 Metetra
  5383. 0.442 0.66 0.954 setrgbcolor
  5384. 0.1369 0.25816 0.16627 0.28692 0.20525 0.28733 0.1761 0.25801 Metetra
  5385. 0.418 0.648 0.953 setrgbcolor
  5386. 0.1761 0.25801 0.20525 0.28733 0.2452 0.28909 0.21628 0.25912 Metetra
  5387. 0.426 0.649 0.952 setrgbcolor
  5388. 0.21628 0.25912 0.2452 0.28909 0.28634 0.29066 0.25768 0.25996 Metetra
  5389. 0.45 0.658 0.95 setrgbcolor
  5390. 0.25768 0.25996 0.28634 0.29066 0.32878 0.29101 0.30041 0.25951 Metetra
  5391. 0.483 0.671 0.947 setrgbcolor
  5392. 0.30041 0.25951 0.32878 0.29101 0.37255 0.28951 0.34452 0.25715 Metetra
  5393. 0.516 0.683 0.942 setrgbcolor
  5394. 0.34452 0.25715 0.37255 0.28951 0.41764 0.28575 0.38999 0.2525 Metetra
  5395. 0.546 0.694 0.936 setrgbcolor
  5396. 0.38999 0.2525 0.41764 0.28575 0.464 0.27957 0.43676 0.2454 Metetra
  5397. 0.574 0.703 0.93 setrgbcolor
  5398. 0.43676 0.2454 0.464 0.27957 0.51157 0.27094 0.48479 0.23584 Metetra
  5399. 0.597 0.711 0.924 setrgbcolor
  5400. 0.48479 0.23584 0.51157 0.27094 0.56028 0.2599 0.53399 0.22389 Metetra
  5401. 0.616 0.717 0.918 setrgbcolor
  5402. 0.53399 0.22389 0.56028 0.2599 0.61007 0.24659 0.58431 0.20967 Metetra
  5403. 0.632 0.722 0.912 setrgbcolor
  5404. 0.58431 0.20967 0.61007 0.24659 0.66087 0.23117 0.63567 0.19337 Metetra
  5405. 0.645 0.726 0.907 setrgbcolor
  5406. 0.63567 0.19337 0.66087 0.23117 0.71264 0.21383 0.68804 0.17516 Metetra
  5407. grestore
  5408. gsave
  5409. 0.002 setlinewidth
  5410. 0.67932 0.02494 moveto
  5411. 0.94594 0.43277 lineto
  5412. stroke
  5413. 0.94594 0.43277 moveto
  5414. 0.97506 0.64585 lineto
  5415. stroke
  5416. 0.97506 0.64585 moveto
  5417. 0.69286 0.25814 lineto
  5418. stroke
  5419. 0.69286 0.25814 moveto
  5420. 0.67932 0.02494 lineto
  5421. stroke
  5422. 0.06024 0.26735 moveto
  5423. 0.02494 0.49015 lineto
  5424. stroke
  5425. 0.02494 0.49015 moveto
  5426. 0.69286 0.25814 lineto
  5427. stroke
  5428. 0.69286 0.25814 moveto
  5429. 0.67932 0.02494 lineto
  5430. stroke
  5431. 0.67932 0.02494 moveto
  5432. 0.06024 0.26735 lineto
  5433. stroke
  5434. grestore
  5435. gsave
  5436. gsave
  5437. 0.002 setlinewidth
  5438. 0.06024 0.26735 moveto
  5439. 0.67932 0.02494 lineto
  5440. stroke
  5441. grestore
  5442. gsave
  5443. 0.002 setlinewidth
  5444. 0.06024 0.26735 moveto
  5445. 0.0648 0.2716 lineto
  5446. stroke
  5447. grestore
  5448. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Mshowa
  5449. gsave
  5450. 0.002 setlinewidth
  5451. 0.20126 0.21213 moveto
  5452. 0.2056 0.21661 lineto
  5453. stroke
  5454. grestore
  5455. [(0.5)] 0.1926 0.20316 0.96648 1 Mshowa
  5456. gsave
  5457. 0.002 setlinewidth
  5458. 0.35089 0.15354 moveto
  5459. 0.35496 0.15826 lineto
  5460. stroke
  5461. grestore
  5462. [(1)] 0.34275 0.1441 0.862234 1 Mshowa
  5463. gsave
  5464. 0.002 setlinewidth
  5465. 0.50994 0.09126 moveto
  5466. 0.5137 0.09623 lineto
  5467. stroke
  5468. grestore
  5469. [(1.5)] 0.50241 0.08133 0.757988 1 Mshowa
  5470. gsave
  5471. 0.002 setlinewidth
  5472. 0.67932 0.02494 moveto
  5473. 0.68274 0.03015 lineto
  5474. stroke
  5475. grestore
  5476. [(2)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Mshowa
  5477. gsave
  5478. 0.001 setlinewidth
  5479. 0.08779 0.25656 moveto
  5480. 0.0905 0.25914 lineto
  5481. stroke
  5482. grestore
  5483. gsave
  5484. 0.001 setlinewidth
  5485. 0.11567 0.24565 moveto
  5486. 0.11835 0.24825 lineto
  5487. stroke
  5488. grestore
  5489. gsave
  5490. 0.001 setlinewidth
  5491. 0.14386 0.2346 moveto
  5492. 0.14652 0.23724 lineto
  5493. stroke
  5494. grestore
  5495. gsave
  5496. 0.001 setlinewidth
  5497. 0.17239 0.22343 moveto
  5498. 0.17502 0.22609 lineto
  5499. stroke
  5500. grestore
  5501. gsave
  5502. 0.001 setlinewidth
  5503. 0.23048 0.20069 moveto
  5504. 0.23305 0.20341 lineto
  5505. stroke
  5506. grestore
  5507. gsave
  5508. 0.001 setlinewidth
  5509. 0.26004 0.18911 moveto
  5510. 0.26258 0.19186 lineto
  5511. stroke
  5512. grestore
  5513. gsave
  5514. 0.001 setlinewidth
  5515. 0.28996 0.1774 moveto
  5516. 0.29247 0.18017 lineto
  5517. stroke
  5518. grestore
  5519. gsave
  5520. 0.001 setlinewidth
  5521. 0.32024 0.16554 moveto
  5522. 0.32272 0.16835 lineto
  5523. stroke
  5524. grestore
  5525. gsave
  5526. 0.001 setlinewidth
  5527. 0.38192 0.14139 moveto
  5528. 0.38433 0.14425 lineto
  5529. stroke
  5530. grestore
  5531. gsave
  5532. 0.001 setlinewidth
  5533. 0.41333 0.12909 moveto
  5534. 0.4157 0.13198 lineto
  5535. stroke
  5536. grestore
  5537. gsave
  5538. 0.001 setlinewidth
  5539. 0.44513 0.11664 moveto
  5540. 0.44747 0.11956 lineto
  5541. stroke
  5542. grestore
  5543. gsave
  5544. 0.001 setlinewidth
  5545. 0.47733 0.10403 moveto
  5546. 0.47963 0.10698 lineto
  5547. stroke
  5548. grestore
  5549. gsave
  5550. 0.001 setlinewidth
  5551. 0.54296 0.07833 moveto
  5552. 0.54518 0.08134 lineto
  5553. stroke
  5554. grestore
  5555. gsave
  5556. 0.001 setlinewidth
  5557. 0.5764 0.06524 moveto
  5558. 0.57857 0.06828 lineto
  5559. stroke
  5560. grestore
  5561. gsave
  5562. 0.001 setlinewidth
  5563. 0.61027 0.05198 moveto
  5564. 0.6124 0.05505 lineto
  5565. stroke
  5566. grestore
  5567. gsave
  5568. 0.001 setlinewidth
  5569. 0.64457 0.03854 moveto
  5570. 0.64666 0.04164 lineto
  5571. stroke
  5572. grestore
  5573. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Mshowa
  5574. grestore
  5575. gsave
  5576. gsave
  5577. 0.002 setlinewidth
  5578. 0.67932 0.02494 moveto
  5579. 0.94594 0.43277 lineto
  5580. stroke
  5581. grestore
  5582. gsave
  5583. 0.002 setlinewidth
  5584. 0.67932 0.02494 moveto
  5585. 0.67352 0.02721 lineto
  5586. stroke
  5587. grestore
  5588. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Mshowa
  5589. gsave
  5590. 0.002 setlinewidth
  5591. 0.7573 0.14421 moveto
  5592. 0.75144 0.14634 lineto
  5593. stroke
  5594. grestore
  5595. [(-1.8)] 0.76901 0.13994 -1 0.364128 Mshowa
  5596. gsave
  5597. 0.002 setlinewidth
  5598. 0.82692 0.2507 moveto
  5599. 0.82101 0.25271 lineto
  5600. stroke
  5601. grestore
  5602. [(-1.6)] 0.83872 0.24668 -1 0.340282 Mshowa
  5603. gsave
  5604. 0.002 setlinewidth
  5605. 0.88945 0.34636 moveto
  5606. 0.88352 0.34826 lineto
  5607. stroke
  5608. grestore
  5609. [(-1.4)] 0.90133 0.34257 -1 0.319367 Mshowa
  5610. gsave
  5611. 0.002 setlinewidth
  5612. 0.94594 0.43277 moveto
  5613. 0.93997 0.43456 lineto
  5614. stroke
  5615. grestore
  5616. [(-1.2)] 0.95788 0.42917 -1 0.300874 Mshowa
  5617. gsave
  5618. 0.001 setlinewidth
  5619. 0.69566 0.04992 moveto
  5620. 0.69217 0.05127 lineto
  5621. stroke
  5622. grestore
  5623. gsave
  5624. 0.001 setlinewidth
  5625. 0.71161 0.07432 moveto
  5626. 0.70811 0.07565 lineto
  5627. stroke
  5628. grestore
  5629. gsave
  5630. 0.001 setlinewidth
  5631. 0.72719 0.09816 moveto
  5632. 0.72369 0.09947 lineto
  5633. stroke
  5634. grestore
  5635. gsave
  5636. 0.001 setlinewidth
  5637. 0.74242 0.12145 moveto
  5638. 0.73891 0.12274 lineto
  5639. stroke
  5640. grestore
  5641. gsave
  5642. 0.001 setlinewidth
  5643. 0.77184 0.16646 moveto
  5644. 0.76832 0.16772 lineto
  5645. stroke
  5646. grestore
  5647. gsave
  5648. 0.001 setlinewidth
  5649. 0.78607 0.18822 moveto
  5650. 0.78254 0.18947 lineto
  5651. stroke
  5652. grestore
  5653. gsave
  5654. 0.001 setlinewidth
  5655. 0.79998 0.2095 moveto
  5656. 0.79645 0.21074 lineto
  5657. stroke
  5658. grestore
  5659. gsave
  5660. 0.001 setlinewidth
  5661. 0.81359 0.23032 moveto
  5662. 0.81006 0.23154 lineto
  5663. stroke
  5664. grestore
  5665. gsave
  5666. 0.001 setlinewidth
  5667. 0.83995 0.27064 moveto
  5668. 0.83641 0.27183 lineto
  5669. stroke
  5670. grestore
  5671. gsave
  5672. 0.001 setlinewidth
  5673. 0.85272 0.29017 moveto
  5674. 0.84917 0.29135 lineto
  5675. stroke
  5676. grestore
  5677. gsave
  5678. 0.001 setlinewidth
  5679. 0.86522 0.30929 moveto
  5680. 0.86166 0.31045 lineto
  5681. stroke
  5682. grestore
  5683. gsave
  5684. 0.001 setlinewidth
  5685. 0.87746 0.32802 moveto
  5686. 0.8739 0.32917 lineto
  5687. stroke
  5688. grestore
  5689. gsave
  5690. 0.001 setlinewidth
  5691. 0.90121 0.36434 moveto
  5692. 0.89764 0.36546 lineto
  5693. stroke
  5694. grestore
  5695. gsave
  5696. 0.001 setlinewidth
  5697. 0.91272 0.38196 moveto
  5698. 0.90915 0.38307 lineto
  5699. stroke
  5700. grestore
  5701. gsave
  5702. 0.001 setlinewidth
  5703. 0.92402 0.39923 moveto
  5704. 0.92044 0.40033 lineto
  5705. stroke
  5706. grestore
  5707. gsave
  5708. 0.001 setlinewidth
  5709. 0.93508 0.41616 moveto
  5710. 0.93151 0.41725 lineto
  5711. stroke
  5712. grestore
  5713. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Mshowa
  5714. grestore
  5715. gsave
  5716. gsave
  5717. 0.002 setlinewidth
  5718. 0.06024 0.26735 moveto
  5719. 0.02494 0.49015 lineto
  5720. stroke
  5721. grestore
  5722. gsave
  5723. 0.002 setlinewidth
  5724. 0.05946 0.27229 moveto
  5725. 0.06527 0.27002 lineto
  5726. stroke
  5727. grestore
  5728. [(0)] 0.04785 0.27682 1 -0.390596 Mshowa
  5729. gsave
  5730. 0.002 setlinewidth
  5731. 0.05021 0.33065 moveto
  5732. 0.05604 0.32844 lineto
  5733. stroke
  5734. grestore
  5735. [(0.1)] 0.03855 0.33507 1 -0.379075 Mshowa
  5736. gsave
  5737. 0.002 setlinewidth
  5738. 0.04059 0.39139 moveto
  5739. 0.04644 0.38924 lineto
  5740. stroke
  5741. grestore
  5742. [(0.2)] 0.02888 0.39568 1 -0.367037 Mshowa
  5743. gsave
  5744. 0.002 setlinewidth
  5745. 0.03056 0.45465 moveto
  5746. 0.03644 0.45256 lineto
  5747. stroke
  5748. grestore
  5749. [(0.3)] 0.01881 0.45881 1 -0.354448 Mshowa
  5750. gsave
  5751. 0.001 setlinewidth
  5752. 0.05764 0.28378 moveto
  5753. 0.06113 0.28242 lineto
  5754. stroke
  5755. grestore
  5756. gsave
  5757. 0.001 setlinewidth
  5758. 0.0558 0.29536 moveto
  5759. 0.05929 0.29401 lineto
  5760. stroke
  5761. grestore
  5762. gsave
  5763. 0.001 setlinewidth
  5764. 0.05395 0.30703 moveto
  5765. 0.05745 0.30569 lineto
  5766. stroke
  5767. grestore
  5768. gsave
  5769. 0.001 setlinewidth
  5770. 0.05209 0.31879 moveto
  5771. 0.05558 0.31746 lineto
  5772. stroke
  5773. grestore
  5774. gsave
  5775. 0.001 setlinewidth
  5776. 0.04832 0.3426 moveto
  5777. 0.05182 0.34128 lineto
  5778. stroke
  5779. grestore
  5780. gsave
  5781. 0.001 setlinewidth
  5782. 0.04641 0.35465 moveto
  5783. 0.04991 0.35334 lineto
  5784. stroke
  5785. grestore
  5786. gsave
  5787. 0.001 setlinewidth
  5788. 0.04448 0.3668 moveto
  5789. 0.04799 0.36549 lineto
  5790. stroke
  5791. grestore
  5792. gsave
  5793. 0.001 setlinewidth
  5794. 0.04254 0.37904 moveto
  5795. 0.04605 0.37775 lineto
  5796. stroke
  5797. grestore
  5798. gsave
  5799. 0.001 setlinewidth
  5800. 0.03861 0.40383 moveto
  5801. 0.04213 0.40255 lineto
  5802. stroke
  5803. grestore
  5804. gsave
  5805. 0.001 setlinewidth
  5806. 0.03663 0.41638 moveto
  5807. 0.04014 0.41511 lineto
  5808. stroke
  5809. grestore
  5810. gsave
  5811. 0.001 setlinewidth
  5812. 0.03462 0.42903 moveto
  5813. 0.03814 0.42776 lineto
  5814. stroke
  5815. grestore
  5816. gsave
  5817. 0.001 setlinewidth
  5818. 0.0326 0.44178 moveto
  5819. 0.03612 0.44053 lineto
  5820. stroke
  5821. grestore
  5822. gsave
  5823. 0.001 setlinewidth
  5824. 0.02851 0.46761 moveto
  5825. 0.03203 0.46637 lineto
  5826. stroke
  5827. grestore
  5828. gsave
  5829. 0.001 setlinewidth
  5830. 0.02643 0.48069 moveto
  5831. 0.02997 0.47946 lineto
  5832. stroke
  5833. grestore
  5834. [(y\(t\))] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Mshowa
  5835. grestore
  5836. % End of Graphics
  5837. MathPictureEnd
  5838. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  5839. The Unformatted text for this cell was not generated.
  5840. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  5841. when Unformatted text is generated.
  5842. ;[o]
  5843. -SurfaceGraphics-
  5844. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  5845.  
  5846. Alternatively, we could set a to a constant value and plot y(t).  For a = -2, y(t) is plotted below:
  5847. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  5848.  
  5849. Plot[ Release[ysol /. a -> -2], {t, 0, 2}, AxesLabel -> { "t", "y(t)" } ]
  5850. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; initialization; preserveAspect; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  5851. %!
  5852. %%Creator: Mathematica
  5853. %%AspectRatio: 0.61803 
  5854. MathPictureStart
  5855. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  5856. % Scaling calculations
  5857. 0.02381 0.47619 0.014715 2.536585 [
  5858. [(0.5)] 0.2619 0.01472 0 2 Msboxa
  5859. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Msboxa
  5860. [(1.5)] 0.7381 0.01472 0 2 Msboxa
  5861. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Msboxa
  5862. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Msboxa
  5863. [(0.05)] 0.01131 0.14154 1 0 Msboxa
  5864. [(0.1)] 0.01131 0.26837 1 0 Msboxa
  5865. [(0.15)] 0.01131 0.3952 1 0 Msboxa
  5866. [(0.2)] 0.01131 0.52203 1 0 Msboxa
  5867. [(y\(t\))] 0.02381 0.61803 0 -4 Msboxa
  5868. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  5869. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  5870. ] MathScale
  5871. % Start of Graphics
  5872. 1 setlinecap
  5873. 1 setlinejoin
  5874. newpath
  5875. %%Object: Graphics
  5876. [ ] 0 setdash
  5877. 0 setgray
  5878. gsave
  5879. gsave
  5880. 0.002 setlinewidth
  5881. 0.2619 0.01472 moveto
  5882. 0.2619 0.02097 lineto
  5883. stroke
  5884. grestore
  5885. [(0.5)] 0.2619 0.01472 0 2 Mshowa
  5886. gsave
  5887. 0.002 setlinewidth
  5888. 0.5 0.01472 moveto
  5889. 0.5 0.02097 lineto
  5890. stroke
  5891. grestore
  5892. [(1)] 0.5 0.01472 0 2 Mshowa
  5893. gsave
  5894. 0.002 setlinewidth
  5895. 0.7381 0.01472 moveto
  5896. 0.7381 0.02097 lineto
  5897. stroke
  5898. grestore
  5899. [(1.5)] 0.7381 0.01472 0 2 Mshowa
  5900. gsave
  5901. 0.002 setlinewidth
  5902. 0.97619 0.01472 moveto
  5903. 0.97619 0.02097 lineto
  5904. stroke
  5905. grestore
  5906. [(2)] 0.97619 0.01472 0 2 Mshowa
  5907. gsave
  5908. 0.001 setlinewidth
  5909. 0.07143 0.01472 moveto
  5910. 0.07143 0.01847 lineto
  5911. stroke
  5912. grestore
  5913. gsave
  5914. 0.001 setlinewidth
  5915. 0.11905 0.01472 moveto
  5916. 0.11905 0.01847 lineto
  5917. stroke
  5918. grestore
  5919. gsave
  5920. 0.001 setlinewidth
  5921. 0.16667 0.01472 moveto
  5922. 0.16667 0.01847 lineto
  5923. stroke
  5924. grestore
  5925. gsave
  5926. 0.001 setlinewidth
  5927. 0.21429 0.01472 moveto
  5928. 0.21429 0.01847 lineto
  5929. stroke
  5930. grestore
  5931. gsave
  5932. 0.001 setlinewidth
  5933. 0.30952 0.01472 moveto
  5934. 0.30952 0.01847 lineto
  5935. stroke
  5936. grestore
  5937. gsave
  5938. 0.001 setlinewidth
  5939. 0.35714 0.01472 moveto
  5940. 0.35714 0.01847 lineto
  5941. stroke
  5942. grestore
  5943. gsave
  5944. 0.001 setlinewidth
  5945. 0.40476 0.01472 moveto
  5946. 0.40476 0.01847 lineto
  5947. stroke
  5948. grestore
  5949. gsave
  5950. 0.001 setlinewidth
  5951. 0.45238 0.01472 moveto
  5952. 0.45238 0.01847 lineto
  5953. stroke
  5954. grestore
  5955. gsave
  5956. 0.001 setlinewidth
  5957. 0.54762 0.01472 moveto
  5958. 0.54762 0.01847 lineto
  5959. stroke
  5960. grestore
  5961. gsave
  5962. 0.001 setlinewidth
  5963. 0.59524 0.01472 moveto
  5964. 0.59524 0.01847 lineto
  5965. stroke
  5966. grestore
  5967. gsave
  5968. 0.001 setlinewidth
  5969. 0.64286 0.01472 moveto
  5970. 0.64286 0.01847 lineto
  5971. stroke
  5972. grestore
  5973. gsave
  5974. 0.001 setlinewidth
  5975. 0.69048 0.01472 moveto
  5976. 0.69048 0.01847 lineto
  5977. stroke
  5978. grestore
  5979. gsave
  5980. 0.001 setlinewidth
  5981. 0.78571 0.01472 moveto
  5982. 0.78571 0.01847 lineto
  5983. stroke
  5984. grestore
  5985. gsave
  5986. 0.001 setlinewidth
  5987. 0.83333 0.01472 moveto
  5988. 0.83333 0.01847 lineto
  5989. stroke
  5990. grestore
  5991. gsave
  5992. 0.001 setlinewidth
  5993. 0.88095 0.01472 moveto
  5994. 0.88095 0.01847 lineto
  5995. stroke
  5996. grestore
  5997. gsave
  5998. 0.001 setlinewidth
  5999. 0.92857 0.01472 moveto
  6000. 0.92857 0.01847 lineto
  6001. stroke
  6002. grestore
  6003. [(t)] 1.025 0.01472 -1 0 Mshowa
  6004. gsave
  6005. 0.002 setlinewidth
  6006. 0 0.01472 moveto
  6007. 1 0.01472 lineto
  6008. stroke
  6009. grestore
  6010. gsave
  6011. 0.002 setlinewidth
  6012. 0.02381 0.14154 moveto
  6013. 0.03006 0.14154 lineto
  6014. stroke
  6015. grestore
  6016. [(0.05)] 0.01131 0.14154 1 0 Mshowa
  6017. gsave
  6018. 0.002 setlinewidth
  6019. 0.02381 0.26837 moveto
  6020. 0.03006 0.26837 lineto
  6021. stroke
  6022. grestore
  6023. [(0.1)] 0.01131 0.26837 1 0 Mshowa
  6024. gsave
  6025. 0.002 setlinewidth
  6026. 0.02381 0.3952 moveto
  6027. 0.03006 0.3952 lineto
  6028. stroke
  6029. grestore
  6030. [(0.15)] 0.01131 0.3952 1 0 Mshowa
  6031. gsave
  6032. 0.002 setlinewidth
  6033. 0.02381 0.52203 moveto
  6034. 0.03006 0.52203 lineto
  6035. stroke
  6036. grestore
  6037. [(0.2)] 0.01131 0.52203 1 0 Mshowa
  6038. gsave
  6039. 0.001 setlinewidth
  6040. 0.02381 0.04008 moveto
  6041. 0.02756 0.04008 lineto
  6042. stroke
  6043. grestore
  6044. gsave
  6045. 0.001 setlinewidth
  6046. 0.02381 0.06545 moveto
  6047. 0.02756 0.06545 lineto
  6048. stroke
  6049. grestore
  6050. gsave
  6051. 0.001 setlinewidth
  6052. 0.02381 0.09081 moveto
  6053. 0.02756 0.09081 lineto
  6054. stroke
  6055. grestore
  6056. gsave
  6057. 0.001 setlinewidth
  6058. 0.02381 0.11618 moveto
  6059. 0.02756 0.11618 lineto
  6060. stroke
  6061. grestore
  6062. gsave
  6063. 0.001 setlinewidth
  6064. 0.02381 0.16691 moveto
  6065. 0.02756 0.16691 lineto
  6066. stroke
  6067. grestore
  6068. gsave
  6069. 0.001 setlinewidth
  6070. 0.02381 0.19228 moveto
  6071. 0.02756 0.19228 lineto
  6072. stroke
  6073. grestore
  6074. gsave
  6075. 0.001 setlinewidth
  6076. 0.02381 0.21764 moveto
  6077. 0.02756 0.21764 lineto
  6078. stroke
  6079. grestore
  6080. gsave
  6081. 0.001 setlinewidth
  6082. 0.02381 0.24301 moveto
  6083. 0.02756 0.24301 lineto
  6084. stroke
  6085. grestore
  6086. gsave
  6087. 0.001 setlinewidth
  6088. 0.02381 0.29374 moveto
  6089. 0.02756 0.29374 lineto
  6090. stroke
  6091. grestore
  6092. gsave
  6093. 0.001 setlinewidth
  6094. 0.02381 0.31911 moveto
  6095. 0.02756 0.31911 lineto
  6096. stroke
  6097. grestore
  6098. gsave
  6099. 0.001 setlinewidth
  6100. 0.02381 0.34447 moveto
  6101. 0.02756 0.34447 lineto
  6102. stroke
  6103. grestore
  6104. gsave
  6105. 0.001 setlinewidth
  6106. 0.02381 0.36984 moveto
  6107. 0.02756 0.36984 lineto
  6108. stroke
  6109. grestore
  6110. gsave
  6111. 0.001 setlinewidth
  6112. 0.02381 0.42057 moveto
  6113. 0.02756 0.42057 lineto
  6114. stroke
  6115. grestore
  6116. gsave
  6117. 0.001 setlinewidth
  6118. 0.02381 0.44593 moveto
  6119. 0.02756 0.44593 lineto
  6120. stroke
  6121. grestore
  6122. gsave
  6123. 0.001 setlinewidth
  6124. 0.02381 0.4713 moveto
  6125. 0.02756 0.4713 lineto
  6126. stroke
  6127. grestore
  6128. gsave
  6129. 0.001 setlinewidth
  6130. 0.02381 0.49667 moveto
  6131. 0.02756 0.49667 lineto
  6132. stroke
  6133. grestore
  6134. gsave
  6135. 0.001 setlinewidth
  6136. 0.02381 0.5474 moveto
  6137. 0.02756 0.5474 lineto
  6138. stroke
  6139. grestore
  6140. gsave
  6141. 0.001 setlinewidth
  6142. 0.02381 0.57276 moveto
  6143. 0.02756 0.57276 lineto
  6144. stroke
  6145. grestore
  6146. gsave
  6147. 0.001 setlinewidth
  6148. 0.02381 0.59813 moveto
  6149. 0.02756 0.59813 lineto
  6150. stroke
  6151. grestore
  6152. [(y\(t\))] 0.02381 0.61803 0 -4 Mshowa
  6153. gsave
  6154. 0.002 setlinewidth
  6155. 0.02381 0 moveto
  6156. 0.02381 0.61803 lineto
  6157. stroke
  6158. grestore
  6159. grestore
  6160. 0 0 moveto
  6161. 1 0 lineto
  6162. 1 0.61803 lineto
  6163. 0 0.61803 lineto
  6164. closepath
  6165. clip
  6166. newpath
  6167. gsave
  6168. gsave
  6169. 0.004 setlinewidth
  6170. 0.02381 0.01472 moveto
  6171. 0.02505 0.01472 lineto
  6172. 0.02629 0.01475 lineto
  6173. 0.02753 0.01479 lineto
  6174. 0.02877 0.01485 lineto
  6175. 0.03001 0.01493 lineto
  6176. 0.03125 0.01502 lineto
  6177. 0.03373 0.01525 lineto
  6178. 0.03869 0.01591 lineto
  6179. 0.04365 0.01681 lineto
  6180. 0.05357 0.01932 lineto
  6181. 0.06349 0.02271 lineto
  6182. 0.08333 0.03186 lineto
  6183. 0.10317 0.04376 lineto
  6184. 0.14286 0.07411 lineto
  6185. 0.18254 0.11074 lineto
  6186. 0.22222 0.15127 lineto
  6187. 0.2619 0.19378 lineto
  6188. 0.30159 0.23681 lineto
  6189. 0.34127 0.27921 lineto
  6190. 0.38095 0.32014 lineto
  6191. 0.42063 0.35895 lineto
  6192. 0.46032 0.39521 lineto
  6193. 0.5 0.42862 lineto
  6194. 0.53968 0.45899 lineto
  6195. 0.57937 0.48624 lineto
  6196. 0.61905 0.51035 lineto
  6197. 0.65873 0.53138 lineto
  6198. 0.69841 0.5494 lineto
  6199. 0.7381 0.56453 lineto
  6200. 0.77778 0.57691 lineto
  6201. 0.81746 0.5867 lineto
  6202. 0.8373 0.59068 lineto
  6203. 0.85714 0.59407 lineto
  6204. 0.87698 0.5969 lineto
  6205. 0.89683 0.59918 lineto
  6206. 0.91667 0.60094 lineto
  6207. 0.93651 0.60221 lineto
  6208. 0.94643 0.60266 lineto
  6209. 0.95139 0.60284 lineto
  6210. 0.95635 0.60299 lineto
  6211. 0.96131 0.60312 lineto
  6212. 0.96627 0.60321 lineto
  6213. 0.96875 0.60325 lineto
  6214. 0.97123 0.60328 lineto
  6215. 0.97371 0.6033 lineto
  6216. 0.97619 0.60332 lineto
  6217. stroke
  6218. grestore
  6219. grestore
  6220. % End of Graphics
  6221. MathPictureEnd
  6222. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  6223. The Unformatted text for this cell was not generated.
  6224. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  6225. when Unformatted text is generated.
  6226. ;[o]
  6227. -Graphics-
  6228. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6229. Differential Equation With  Initial Conditions
  6230. :[font = subsubsection; inactive; preserveAspect; ]
  6231. Example 
  6232. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6233.  
  6234.         The analysis carried out for a differential equation with zero-valued initial conditions applies to those with non-zero initial conditions.  Here is the same differential equation with y'(0) = 1/2 and y(0) = 4:
  6235. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6236.  
  6237. LSolve[ y''[t] + 3/2 y'[t] + 1/2 y[t] == Exp[a t] CStep[t],
  6238.         y[t], y'[0] -> 1/2, y[0] -> 4 ]
  6239. :[font = print; inactive; preserveAspect; ]
  6240. Solving for y[t] in the differential equation
  6241.   y[t]   3 y'[t]             a t
  6242.   ---- + ------- + y''[t] = E    CStep[t]
  6243.    2        2
  6244.   subject to the initial conditions
  6245.             1
  6246.   {y'[0] -> -, y[0] -> 4}
  6247.             2
  6248. After taking the Laplace transform of both sides
  6249. and solving for the transform of y[t]:
  6250.   13           1
  6251.   -- + 4 s + -----
  6252.   2          s - a
  6253.   ----------------
  6254.     1   3 s    2
  6255.     - + --- + s
  6256.     2    2
  6257. Inverse transforming this gives y[t]:
  6258. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  6259. ((-3 - 11*a - 10*a^2 + 5*E^(t/2) + 23*a*E^(t/2) + 18*a^2*E^(t/2) + 
  6260.       2*E^(t + a*t))*CStep[t])/((1 + 3*a + 2*a^2)*E^t)
  6261. ;[o]
  6262.                   2      t/2         t/2       2  t/2      t + a t
  6263. ((-3 - 11 a - 10 a  + 5 E    + 23 a E    + 18 a  E    + 2 E       ) 
  6264.  
  6265.                                2   t
  6266.     CStep[t]) / ((1 + 3 a + 2 a ) E )
  6267. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6268.  
  6269. Again, implied here is that we want the solution to the differential equation when t > 0.  So once again, we will drop the step functions since they are 1 for t > 0.
  6270. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6271. Verifying a Solution
  6272. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6273.  
  6274. We can now use Mathematica to verify the solution, which we assign to the function ysol:
  6275. :[font = input; initialization; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6276. *)
  6277.  
  6278. yicsol =    (5 + 18 a) Exp[-t/2] / (1 + 2 a) +
  6279.             (3 + 5 a) Exp[-t] / (-1 - a) -
  6280.             2 Exp[a t] / (-1 - 3 a - 2 a^2 )
  6281. (*
  6282. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  6283. (3 + 5*a)/((-1 - a)*E^t) + (5 + 18*a)/((1 + 2*a)*E^(t/2)) - 
  6284.   (2*E^(a*t))/(-1 - 3*a - 2*a^2)
  6285. ;[o]
  6286.                                       a t
  6287.   3 + 5 a        5 + 18 a          2 E
  6288. ----------- + -------------- - ---------------
  6289.           t              t/2                 2
  6290. (-1 - a) E    (1 + 2 a) E      -1 - 3 a - 2 a
  6291. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6292.  
  6293.  We can now check to make sure that the initial conditions are valid.  First, we check to see if y(0+) = 4:
  6294. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6295. yicsol /. t -> 0
  6296.  
  6297. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  6298. (3 + 5*a)/(-1 - a) + (5 + 18*a)/(1 + 2*a) - 2/(-1 - 3*a - 2*a^2)
  6299. ;[o]
  6300. 3 + 5 a   5 + 18 a          2
  6301. ------- + -------- - ---------------
  6302. -1 - a    1 + 2 a                  2
  6303.                      -1 - 3 a - 2 a
  6304. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6305.  
  6306. This may not look like four but it actually is:
  6307.  
  6308. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6309.  
  6310. Simplify[ yicsol /. t -> 0 ]
  6311. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  6312. 4
  6313. ;[o]
  6314. 4
  6315. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6316.  
  6317. Second, we can check to make sure that ysol'(0+) equals 1/2:
  6318. :[font = input; initialization; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6319. *)
  6320.  
  6321. Simplify[ D[ yicsol, t ] /. t -> 0 ]
  6322. (*
  6323. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  6324. 1/2
  6325. ;[o]
  6326. 1
  6327. -
  6328. 2
  6329. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6330.  
  6331. Next, we can try to verify that the solution satisfies the differential equation:
  6332. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6333.  
  6334. yicsolprime = D[ yicsol, t];
  6335. yicsoldblprime = D[ yicsolprime, t];
  6336.  
  6337. Simplify[ yicsoldblprime + 3/2 yicsolprime + 1/2 yicsol ]
  6338. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  6339. E^(a*t)
  6340. ;[o]
  6341.  a t
  6342. E
  6343. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6344. Analyzing a Solution
  6345. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6346.  
  6347.         Now that we shown that the solution is correct, we can analyze the solution.  First, there are certain values of the free parameter a which yield an unbounded (and hence invalid) solution.  This occurs when any of the denominator terms become zero, which happens when a = -1/2 and when a = -1.  This can be seen from inspection, but Mathematica can determine these values in the general case. Again, we convert the solution from its form of Plus[term1, term2, term3] to a list of the form List[term1, term2, term3] by using Apply and then solve the cases where each denominator is zero using Solve:
  6348. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6349.  
  6350. Map[ Solve[Denominator[#1] == 0, a]&, Apply[List, yicsol] ]
  6351. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  6352. {{{a -> -1}}, {{a -> -1/2}}, {{a -> -1}, {a -> -1/2}}}
  6353. ;[o]
  6354.                        1                         1
  6355. {{{a -> -1}}, {{a -> -(-)}}, {{a -> -1}, {a -> -(-)}}}
  6356.                        2                         2
  6357. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6358. Interpreting a Solution
  6359. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  6360.  
  6361.         In this case, ysol is assigned to the solution of the differential equation automatically by the notebook.  To plot the solution, then, we simplify plot ysol for different values of a:
  6362. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  6363.  
  6364. Plot3D[ yicsol, {t, 0, 1}, {a, -1.1, -2}, AxesLabel -> { "t", "a", " " } ]
  6365. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  6366. %!
  6367. %%Creator: Mathematica
  6368. %%AspectRatio: 0.82055 
  6369. MathPictureStart
  6370. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  6371. % Scaling calculations
  6372. 0.024936 0.99742 -0.039634 0.99742 [
  6373. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Msboxa
  6374. [(0.2)] 0.16364 0.21456 0.987329 1 Msboxa
  6375. [(0.4)] 0.2816 0.16815 0.903932 1 Msboxa
  6376. [(0.6)] 0.40542 0.11945 0.820535 1 Msboxa
  6377. [(0.8)] 0.53556 0.0683 0.737139 1 Msboxa
  6378. [(1)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Msboxa
  6379. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Msboxa
  6380. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Msboxa
  6381. [(-1.8)] 0.76078 0.12733 -1 0.366986 Msboxa
  6382. [(-1.6)] 0.82388 0.22396 -1 0.345307 Msboxa
  6383. [(-1.4)] 0.88118 0.31171 -1 0.326047 Msboxa
  6384. [(-1.2)] 0.93344 0.39174 -1 0.308822 Msboxa
  6385. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Msboxa
  6386. [(3.8)] 0.04597 0.28858 1 -0.388274 Msboxa
  6387. [(3.9)] 0.03492 0.35785 1 -0.374557 Msboxa
  6388. [(4)] 0.02333 0.43046 1 -0.360108 Msboxa
  6389. [( )] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Msboxa
  6390. [ 0 0 0 0 ]
  6391. [ 1 0.820555 0 0 ]
  6392. ] MathScale
  6393. % Start of Graphics
  6394. 1 setlinecap
  6395. 1 setlinejoin
  6396. newpath
  6397. %%Object: SurfaceGraphics
  6398. [ ] 0 setdash
  6399. 0 setgray
  6400. gsave
  6401. gsave
  6402. 0.002 setlinewidth
  6403. 0.06024 0.26735 moveto
  6404. 0.67932 0.02494 lineto
  6405. stroke
  6406. grestore
  6407. gsave
  6408. 0.002 setlinewidth
  6409. 0.06024 0.26735 moveto
  6410. 0.0648 0.2716 lineto
  6411. stroke
  6412. grestore
  6413. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Mshowa
  6414. gsave
  6415. 0.002 setlinewidth
  6416. 0.17239 0.22343 moveto
  6417. 0.17677 0.22787 lineto
  6418. stroke
  6419. grestore
  6420. [(0.2)] 0.16364 0.21456 0.987329 1 Mshowa
  6421. gsave
  6422. 0.002 setlinewidth
  6423. 0.28996 0.1774 moveto
  6424. 0.29414 0.18202 lineto
  6425. stroke
  6426. grestore
  6427. [(0.4)] 0.2816 0.16815 0.903932 1 Mshowa
  6428. gsave
  6429. 0.002 setlinewidth
  6430. 0.41333 0.12909 moveto
  6431. 0.41729 0.13391 lineto
  6432. stroke
  6433. grestore
  6434. [(0.6)] 0.40542 0.11945 0.820535 1 Mshowa
  6435. gsave
  6436. 0.002 setlinewidth
  6437. 0.54296 0.07833 moveto
  6438. 0.54666 0.08335 lineto
  6439. stroke
  6440. grestore
  6441. [(0.8)] 0.53556 0.0683 0.737139 1 Mshowa
  6442. gsave
  6443. 0.002 setlinewidth
  6444. 0.67932 0.02494 moveto
  6445. 0.68274 0.03015 lineto
  6446. stroke
  6447. grestore
  6448. [(1)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Mshowa
  6449. gsave
  6450. 0.001 setlinewidth
  6451. 0.08226 0.25873 moveto
  6452. 0.08497 0.2613 lineto
  6453. stroke
  6454. grestore
  6455. gsave
  6456. 0.001 setlinewidth
  6457. 0.10448 0.25003 moveto
  6458. 0.10717 0.25262 lineto
  6459. stroke
  6460. grestore
  6461. gsave
  6462. 0.001 setlinewidth
  6463. 0.12691 0.24125 moveto
  6464. 0.12958 0.24386 lineto
  6465. stroke
  6466. grestore
  6467. gsave
  6468. 0.001 setlinewidth
  6469. 0.14954 0.23238 moveto
  6470. 0.15219 0.23502 lineto
  6471. stroke
  6472. grestore
  6473. gsave
  6474. 0.001 setlinewidth
  6475. 0.19546 0.2144 moveto
  6476. 0.19807 0.21708 lineto
  6477. stroke
  6478. grestore
  6479. gsave
  6480. 0.001 setlinewidth
  6481. 0.21875 0.20528 moveto
  6482. 0.22133 0.20799 lineto
  6483. stroke
  6484. grestore
  6485. gsave
  6486. 0.001 setlinewidth
  6487. 0.24226 0.19608 moveto
  6488. 0.24482 0.19881 lineto
  6489. stroke
  6490. grestore
  6491. gsave
  6492. 0.001 setlinewidth
  6493. 0.26599 0.18678 moveto
  6494. 0.26853 0.18953 lineto
  6495. stroke
  6496. grestore
  6497. gsave
  6498. 0.001 setlinewidth
  6499. 0.31415 0.16792 moveto
  6500. 0.31664 0.17072 lineto
  6501. stroke
  6502. grestore
  6503. gsave
  6504. 0.001 setlinewidth
  6505. 0.33859 0.15836 moveto
  6506. 0.34104 0.16118 lineto
  6507. stroke
  6508. grestore
  6509. gsave
  6510. 0.001 setlinewidth
  6511. 0.36326 0.1487 moveto
  6512. 0.36569 0.15154 lineto
  6513. stroke
  6514. grestore
  6515. gsave
  6516. 0.001 setlinewidth
  6517. 0.38817 0.13894 moveto
  6518. 0.39057 0.14181 lineto
  6519. stroke
  6520. grestore
  6521. gsave
  6522. 0.001 setlinewidth
  6523. 0.43874 0.11914 moveto
  6524. 0.44108 0.12206 lineto
  6525. stroke
  6526. grestore
  6527. gsave
  6528. 0.001 setlinewidth
  6529. 0.4644 0.10909 moveto
  6530. 0.46672 0.11203 lineto
  6531. stroke
  6532. grestore
  6533. gsave
  6534. 0.001 setlinewidth
  6535. 0.49033 0.09894 moveto
  6536. 0.49261 0.1019 lineto
  6537. stroke
  6538. grestore
  6539. gsave
  6540. 0.001 setlinewidth
  6541. 0.51651 0.08869 moveto
  6542. 0.51876 0.09168 lineto
  6543. stroke
  6544. grestore
  6545. gsave
  6546. 0.001 setlinewidth
  6547. 0.56967 0.06787 moveto
  6548. 0.57186 0.07091 lineto
  6549. stroke
  6550. grestore
  6551. gsave
  6552. 0.001 setlinewidth
  6553. 0.59667 0.0573 moveto
  6554. 0.59882 0.06036 lineto
  6555. stroke
  6556. grestore
  6557. gsave
  6558. 0.001 setlinewidth
  6559. 0.62394 0.04662 moveto
  6560. 0.62605 0.04971 lineto
  6561. stroke
  6562. grestore
  6563. gsave
  6564. 0.001 setlinewidth
  6565. 0.65149 0.03584 moveto
  6566. 0.65357 0.03894 lineto
  6567. stroke
  6568. grestore
  6569. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Mshowa
  6570. grestore
  6571. gsave
  6572. gsave
  6573. 0.002 setlinewidth
  6574. 0.67932 0.02494 moveto
  6575. 0.94594 0.43277 lineto
  6576. stroke
  6577. grestore
  6578. gsave
  6579. 0.002 setlinewidth
  6580. 0.67932 0.02494 moveto
  6581. 0.67352 0.02721 lineto
  6582. stroke
  6583. grestore
  6584. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Mshowa
  6585. gsave
  6586. 0.002 setlinewidth
  6587. 0.74907 0.13163 moveto
  6588. 0.74322 0.13377 lineto
  6589. stroke
  6590. grestore
  6591. [(-1.8)] 0.76078 0.12733 -1 0.366986 Mshowa
  6592. gsave
  6593. 0.002 setlinewidth
  6594. 0.8121 0.22803 moveto
  6595. 0.8062 0.23007 lineto
  6596. stroke
  6597. grestore
  6598. [(-1.6)] 0.82388 0.22396 -1 0.345307 Mshowa
  6599. gsave
  6600. 0.002 setlinewidth
  6601. 0.86933 0.31557 moveto
  6602. 0.8634 0.31751 lineto
  6603. stroke
  6604. grestore
  6605. [(-1.4)] 0.88118 0.31171 -1 0.326047 Mshowa
  6606. gsave
  6607. 0.002 setlinewidth
  6608. 0.92153 0.39542 moveto
  6609. 0.91557 0.39726 lineto
  6610. stroke
  6611. grestore
  6612. [(-1.2)] 0.93344 0.39174 -1 0.308822 Mshowa
  6613. gsave
  6614. 0.001 setlinewidth
  6615. 0.69386 0.04717 moveto
  6616. 0.69037 0.04852 lineto
  6617. stroke
  6618. grestore
  6619. gsave
  6620. 0.001 setlinewidth
  6621. 0.7081 0.06895 moveto
  6622. 0.7046 0.07028 lineto
  6623. stroke
  6624. grestore
  6625. gsave
  6626. 0.001 setlinewidth
  6627. 0.72204 0.09027 moveto
  6628. 0.71854 0.09159 lineto
  6629. stroke
  6630. grestore
  6631. gsave
  6632. 0.001 setlinewidth
  6633. 0.73569 0.11116 moveto
  6634. 0.73219 0.11246 lineto
  6635. stroke
  6636. grestore
  6637. gsave
  6638. 0.001 setlinewidth
  6639. 0.76218 0.15168 moveto
  6640. 0.75867 0.15295 lineto
  6641. stroke
  6642. grestore
  6643. gsave
  6644. 0.001 setlinewidth
  6645. 0.77503 0.17134 moveto
  6646. 0.77151 0.1726 lineto
  6647. stroke
  6648. grestore
  6649. gsave
  6650. 0.001 setlinewidth
  6651. 0.78763 0.19061 moveto
  6652. 0.7841 0.19185 lineto
  6653. stroke
  6654. grestore
  6655. gsave
  6656. 0.001 setlinewidth
  6657. 0.79998 0.2095 moveto
  6658. 0.79645 0.21074 lineto
  6659. stroke
  6660. grestore
  6661. gsave
  6662. 0.001 setlinewidth
  6663. 0.82398 0.24621 moveto
  6664. 0.82044 0.24742 lineto
  6665. stroke
  6666. grestore
  6667. gsave
  6668. 0.001 setlinewidth
  6669. 0.83564 0.26404 moveto
  6670. 0.83209 0.26524 lineto
  6671. stroke
  6672. grestore
  6673. gsave
  6674. 0.001 setlinewidth
  6675. 0.84708 0.28154 moveto
  6676. 0.84353 0.28272 lineto
  6677. stroke
  6678. grestore
  6679. gsave
  6680. 0.001 setlinewidth
  6681. 0.85831 0.29872 moveto
  6682. 0.85475 0.29989 lineto
  6683. stroke
  6684. grestore
  6685. gsave
  6686. 0.001 setlinewidth
  6687. 0.88015 0.33213 moveto
  6688. 0.87659 0.33327 lineto
  6689. stroke
  6690. grestore
  6691. gsave
  6692. 0.001 setlinewidth
  6693. 0.89077 0.34838 moveto
  6694. 0.88721 0.34951 lineto
  6695. stroke
  6696. grestore
  6697. gsave
  6698. 0.001 setlinewidth
  6699. 0.90121 0.36434 moveto
  6700. 0.89764 0.36546 lineto
  6701. stroke
  6702. grestore
  6703. gsave
  6704. 0.001 setlinewidth
  6705. 0.91146 0.38002 moveto
  6706. 0.90789 0.38113 lineto
  6707. stroke
  6708. grestore
  6709. gsave
  6710. 0.001 setlinewidth
  6711. 0.93142 0.41055 moveto
  6712. 0.92784 0.41165 lineto
  6713. stroke
  6714. grestore
  6715. gsave
  6716. 0.001 setlinewidth
  6717. 0.94114 0.42543 moveto
  6718. 0.93756 0.42651 lineto
  6719. stroke
  6720. grestore
  6721. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Mshowa
  6722. grestore
  6723. gsave
  6724. gsave
  6725. 0.002 setlinewidth
  6726. 0.06024 0.26735 moveto
  6727. 0.02494 0.49015 lineto
  6728. stroke
  6729. grestore
  6730. gsave
  6731. 0.002 setlinewidth
  6732. 0.05759 0.28407 moveto
  6733. 0.0634 0.28181 lineto
  6734. stroke
  6735. grestore
  6736. [(3.8)] 0.04597 0.28858 1 -0.388274 Mshowa
  6737. gsave
  6738. 0.002 setlinewidth
  6739. 0.04659 0.35348 moveto
  6740. 0.05243 0.35129 lineto
  6741. stroke
  6742. grestore
  6743. [(3.9)] 0.03492 0.35785 1 -0.374557 Mshowa
  6744. gsave
  6745. 0.002 setlinewidth
  6746. 0.03506 0.42624 moveto
  6747. 0.04093 0.42413 lineto
  6748. stroke
  6749. grestore
  6750. [(4)] 0.02333 0.43046 1 -0.360108 Mshowa
  6751. gsave
  6752. 0.001 setlinewidth
  6753. 0.05543 0.29769 moveto
  6754. 0.05892 0.29635 lineto
  6755. stroke
  6756. grestore
  6757. gsave
  6758. 0.001 setlinewidth
  6759. 0.05325 0.31144 moveto
  6760. 0.05675 0.31011 lineto
  6761. stroke
  6762. grestore
  6763. gsave
  6764. 0.001 setlinewidth
  6765. 0.05105 0.32532 moveto
  6766. 0.05455 0.324 lineto
  6767. stroke
  6768. grestore
  6769. gsave
  6770. 0.001 setlinewidth
  6771. 0.04883 0.33933 moveto
  6772. 0.05233 0.33801 lineto
  6773. stroke
  6774. grestore
  6775. gsave
  6776. 0.001 setlinewidth
  6777. 0.04433 0.36775 moveto
  6778. 0.04784 0.36645 lineto
  6779. stroke
  6780. grestore
  6781. gsave
  6782. 0.001 setlinewidth
  6783. 0.04205 0.38216 moveto
  6784. 0.04556 0.38087 lineto
  6785. stroke
  6786. grestore
  6787. gsave
  6788. 0.001 setlinewidth
  6789. 0.03974 0.39671 moveto
  6790. 0.04325 0.39543 lineto
  6791. stroke
  6792. grestore
  6793. gsave
  6794. 0.001 setlinewidth
  6795. 0.03741 0.41141 moveto
  6796. 0.04093 0.41013 lineto
  6797. stroke
  6798. grestore
  6799. gsave
  6800. 0.001 setlinewidth
  6801. 0.05973 0.27057 moveto
  6802. 0.06322 0.26921 lineto
  6803. stroke
  6804. grestore
  6805. gsave
  6806. 0.001 setlinewidth
  6807. 0.03269 0.44121 moveto
  6808. 0.03621 0.43996 lineto
  6809. stroke
  6810. grestore
  6811. gsave
  6812. 0.001 setlinewidth
  6813. 0.03029 0.45634 moveto
  6814. 0.03382 0.45509 lineto
  6815. stroke
  6816. grestore
  6817. gsave
  6818. 0.001 setlinewidth
  6819. 0.02787 0.47161 moveto
  6820. 0.0314 0.47037 lineto
  6821. stroke
  6822. grestore
  6823. gsave
  6824. 0.001 setlinewidth
  6825. 0.02543 0.48703 moveto
  6826. 0.02896 0.4858 lineto
  6827. stroke
  6828. grestore
  6829. [( )] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Mshowa
  6830. grestore
  6831. 0 0 moveto
  6832. 1 0 lineto
  6833. 1 0.82055 lineto
  6834. 0 0.82055 lineto
  6835. closepath
  6836. clip
  6837. newpath
  6838. gsave
  6839. 0.002 setlinewidth
  6840. 0.06024 0.26735 moveto
  6841. 0.02494 0.49015 lineto
  6842. stroke
  6843. 0.02494 0.49015 moveto
  6844. 0.40296 0.79562 lineto
  6845. stroke
  6846. 0.40296 0.79562 moveto
  6847. 0.41001 0.59401 lineto
  6848. stroke
  6849. 0.41001 0.59401 moveto
  6850. 0.06024 0.26735 lineto
  6851. stroke
  6852. 0.67932 0.02494 moveto
  6853. 0.94594 0.43277 lineto
  6854. stroke
  6855. 0.94594 0.43277 moveto
  6856. 0.97506 0.64585 lineto
  6857. stroke
  6858. 0.97506 0.64585 moveto
  6859. 0.69286 0.25814 lineto
  6860. stroke
  6861. 0.69286 0.25814 moveto
  6862. 0.67932 0.02494 lineto
  6863. stroke
  6864. 0.06024 0.26735 moveto
  6865. 0.02494 0.49015 lineto
  6866. stroke
  6867. 0.02494 0.49015 moveto
  6868. 0.69286 0.25814 lineto
  6869. stroke
  6870. 0.69286 0.25814 moveto
  6871. 0.67932 0.02494 lineto
  6872. stroke
  6873. 0.67932 0.02494 moveto
  6874. 0.06024 0.26735 lineto
  6875. stroke
  6876. 0.41001 0.59401 moveto
  6877. 0.94594 0.43277 lineto
  6878. stroke
  6879. 0.94594 0.43277 moveto
  6880. 0.97506 0.64585 lineto
  6881. stroke
  6882. 0.97506 0.64585 moveto
  6883. 0.40296 0.79562 lineto
  6884. stroke
  6885. 0.40296 0.79562 moveto
  6886. 0.41001 0.59401 lineto
  6887. stroke
  6888. grestore
  6889. gsave
  6890. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  6891. 0.0015 setlinewidth
  6892. 0.38309 0.71988 0.40497 0.73833 0.44086 0.74962 0.41917 0.73107 Metetra
  6893. 0.366 0.65 0.965 setrgbcolor
  6894. 0.41917 0.73107 0.44086 0.74962 0.47781 0.75536 0.45636 0.73664 Metetra
  6895. 0.491 0.707 0.966 setrgbcolor
  6896. 0.45636 0.73664 0.47781 0.75536 0.51566 0.75565 0.49451 0.73669 Metetra
  6897. 0.581 0.741 0.952 setrgbcolor
  6898. 0.49451 0.73669 0.51566 0.75565 0.55426 0.75063 0.53345 0.73136 Metetra
  6899. 0.645 0.761 0.933 setrgbcolor
  6900. 0.53345 0.73136 0.55426 0.75063 0.59345 0.74052 0.57302 0.72085 Metetra
  6901. 0.693 0.773 0.913 setrgbcolor
  6902. 0.57302 0.72085 0.59345 0.74052 0.63308 0.72556 0.61307 0.70541 Metetra
  6903. 0.728 0.78 0.894 setrgbcolor
  6904. 0.61307 0.70541 0.63308 0.72556 0.67301 0.70604 0.65345 0.68532 Metetra
  6905. 0.756 0.784 0.876 setrgbcolor
  6906. 0.65345 0.68532 0.67301 0.70604 0.7131 0.68227 0.69402 0.6609 Metetra
  6907. 0.777 0.786 0.86 setrgbcolor
  6908. 0.69402 0.6609 0.7131 0.68227 0.75323 0.65458 0.73464 0.6325 Metetra
  6909. 0.794 0.786 0.845 setrgbcolor
  6910. 0.73464 0.6325 0.75323 0.65458 0.79329 0.62332 0.7752 0.60046 Metetra
  6911. 0.808 0.786 0.833 setrgbcolor
  6912. 0.7752 0.60046 0.79329 0.62332 0.83317 0.58883 0.81559 0.56514 Metetra
  6913. 0.819 0.786 0.821 setrgbcolor
  6914. 0.81559 0.56514 0.83317 0.58883 0.87279 0.55147 0.85573 0.52691 Metetra
  6915. 0.828 0.784 0.811 setrgbcolor
  6916. 0.85573 0.52691 0.87279 0.55147 0.91207 0.51158 0.89551 0.48611 Metetra
  6917. 0.835 0.783 0.802 setrgbcolor
  6918. 0.89551 0.48611 0.91207 0.51158 0.95096 0.46948 0.9349 0.44309 Metetra
  6919. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  6920. 0.36063 0.70093 0.38309 0.71988 0.41917 0.73107 0.39689 0.712 Metetra
  6921. 0.367 0.65 0.965 setrgbcolor
  6922. 0.39689 0.712 0.41917 0.73107 0.45636 0.73664 0.43432 0.71741 Metetra
  6923. 0.492 0.707 0.966 setrgbcolor
  6924. 0.43432 0.71741 0.45636 0.73664 0.49451 0.73669 0.47276 0.71721 Metetra
  6925. 0.582 0.741 0.952 setrgbcolor
  6926. 0.47276 0.71721 0.49451 0.73669 0.53345 0.73136 0.51205 0.71155 Metetra
  6927. 0.646 0.761 0.933 setrgbcolor
  6928. 0.51205 0.71155 0.53345 0.73136 0.57302 0.72085 0.55202 0.70063 Metetra
  6929. 0.694 0.773 0.912 setrgbcolor
  6930. 0.55202 0.70063 0.57302 0.72085 0.61307 0.70541 0.5925 0.68469 Metetra
  6931. 0.73 0.78 0.893 setrgbcolor
  6932. 0.5925 0.68469 0.61307 0.70541 0.65345 0.68532 0.63335 0.66402 Metetra
  6933. 0.757 0.784 0.875 setrgbcolor
  6934. 0.63335 0.66402 0.65345 0.68532 0.69402 0.6609 0.6744 0.63894 Metetra
  6935. 0.779 0.786 0.859 setrgbcolor
  6936. 0.6744 0.63894 0.69402 0.6609 0.73464 0.6325 0.71554 0.60981 Metetra
  6937. 0.796 0.787 0.844 setrgbcolor
  6938. 0.71554 0.60981 0.73464 0.6325 0.7752 0.60046 0.75662 0.57698 Metetra
  6939. 0.809 0.787 0.832 setrgbcolor
  6940. 0.75662 0.57698 0.7752 0.60046 0.81559 0.56514 0.79754 0.54083 Metetra
  6941. 0.82 0.786 0.82 setrgbcolor
  6942. 0.79754 0.54083 0.81559 0.56514 0.85573 0.52691 0.8382 0.50172 Metetra
  6943. 0.83 0.785 0.81 setrgbcolor
  6944. 0.8382 0.50172 0.85573 0.52691 0.89551 0.48611 0.87851 0.46002 Metetra
  6945. 0.837 0.784 0.801 setrgbcolor
  6946. 0.87851 0.46002 0.89551 0.48611 0.9349 0.44309 0.91842 0.41608 Metetra
  6947. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  6948. 0.33756 0.68146 0.36063 0.70093 0.39689 0.712 0.374 0.69242 Metetra
  6949. 0.367 0.65 0.965 setrgbcolor
  6950. 0.374 0.69242 0.39689 0.712 0.43432 0.71741 0.41167 0.69764 Metetra
  6951. 0.493 0.707 0.966 setrgbcolor
  6952. 0.41167 0.69764 0.43432 0.71741 0.47276 0.71721 0.45041 0.69718 Metetra
  6953. 0.583 0.741 0.952 setrgbcolor
  6954. 0.45041 0.69718 0.47276 0.71721 0.51205 0.71155 0.49005 0.69118 Metetra
  6955. 0.648 0.762 0.932 setrgbcolor
  6956. 0.49005 0.69118 0.51205 0.71155 0.55202 0.70063 0.53042 0.67984 Metetra
  6957. 0.695 0.773 0.912 setrgbcolor
  6958. 0.53042 0.67984 0.55202 0.70063 0.5925 0.68469 0.57134 0.66338 Metetra
  6959. 0.731 0.78 0.892 setrgbcolor
  6960. 0.57134 0.66338 0.5925 0.68469 0.63335 0.66402 0.61267 0.64212 Metetra
  6961. 0.759 0.784 0.874 setrgbcolor
  6962. 0.61267 0.64212 0.63335 0.66402 0.6744 0.63894 0.65423 0.61637 Metetra
  6963. 0.78 0.786 0.858 setrgbcolor
  6964. 0.65423 0.61637 0.6744 0.63894 0.71554 0.60981 0.69588 0.5865 Metetra
  6965. 0.797 0.787 0.843 setrgbcolor
  6966. 0.69588 0.5865 0.71554 0.60981 0.75662 0.57698 0.7375 0.55288 Metetra
  6967. 0.811 0.787 0.831 setrgbcolor
  6968. 0.7375 0.55288 0.75662 0.57698 0.79754 0.54083 0.77897 0.51588 Metetra
  6969. 0.822 0.787 0.819 setrgbcolor
  6970. 0.77897 0.51588 0.79754 0.54083 0.8382 0.50172 0.82018 0.47589 Metetra
  6971. 0.831 0.786 0.809 setrgbcolor
  6972. 0.82018 0.47589 0.8382 0.50172 0.87851 0.46002 0.86105 0.43328 Metetra
  6973. 0.839 0.785 0.8 setrgbcolor
  6974. 0.86105 0.43328 0.87851 0.46002 0.91842 0.41608 0.90149 0.38842 Metetra
  6975. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  6976. 0.31385 0.66146 0.33756 0.68146 0.374 0.69242 0.35046 0.67228 Metetra
  6977. 0.368 0.65 0.965 setrgbcolor
  6978. 0.35046 0.67228 0.374 0.69242 0.41167 0.69764 0.38837 0.6773 Metetra
  6979. 0.494 0.708 0.965 setrgbcolor
  6980. 0.38837 0.6773 0.41167 0.69764 0.45041 0.69718 0.42741 0.67658 Metetra
  6981. 0.584 0.742 0.951 setrgbcolor
  6982. 0.42741 0.67658 0.45041 0.69718 0.49005 0.69118 0.46741 0.67023 Metetra
  6983. 0.649 0.762 0.932 setrgbcolor
  6984. 0.46741 0.67023 0.49005 0.69118 0.53042 0.67984 0.50819 0.65844 Metetra
  6985. 0.697 0.774 0.911 setrgbcolor
  6986. 0.50819 0.65844 0.53042 0.67984 0.57134 0.66338 0.54957 0.64146 Metetra
  6987. 0.732 0.781 0.891 setrgbcolor
  6988. 0.54957 0.64146 0.57134 0.66338 0.61267 0.64212 0.59138 0.61959 Metetra
  6989. 0.76 0.785 0.873 setrgbcolor
  6990. 0.59138 0.61959 0.61267 0.64212 0.65423 0.61637 0.63346 0.59316 Metetra
  6991. 0.781 0.787 0.857 setrgbcolor
  6992. 0.63346 0.59316 0.65423 0.61637 0.69588 0.5865 0.67566 0.56254 Metetra
  6993. 0.799 0.788 0.842 setrgbcolor
  6994. 0.67566 0.56254 0.69588 0.5865 0.7375 0.55288 0.71784 0.5281 Metetra
  6995. 0.812 0.788 0.83 setrgbcolor
  6996. 0.71784 0.5281 0.7375 0.55288 0.77897 0.51588 0.75988 0.49025 Metetra
  6997. 0.823 0.787 0.818 setrgbcolor
  6998. 0.75988 0.49025 0.77897 0.51588 0.82018 0.47589 0.80166 0.44937 Metetra
  6999. 0.833 0.786 0.808 setrgbcolor
  7000. 0.80166 0.44937 0.82018 0.47589 0.86105 0.43328 0.8431 0.40585 Metetra
  7001. 0.84 0.785 0.799 setrgbcolor
  7002. 0.8431 0.40585 0.86105 0.43328 0.90149 0.38842 0.88411 0.36006 Metetra
  7003. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  7004. 0.28948 0.6409 0.31385 0.66146 0.35046 0.67228 0.32626 0.65157 Metetra
  7005. 0.368 0.651 0.965 setrgbcolor
  7006. 0.32626 0.65157 0.35046 0.67228 0.38837 0.6773 0.36441 0.65639 Metetra
  7007. 0.494 0.708 0.965 setrgbcolor
  7008. 0.36441 0.65639 0.38837 0.6773 0.42741 0.67658 0.40375 0.65538 Metetra
  7009. 0.585 0.742 0.951 setrgbcolor
  7010. 0.40375 0.65538 0.42741 0.67658 0.46741 0.67023 0.44411 0.64866 Metetra
  7011. 0.65 0.762 0.931 setrgbcolor
  7012. 0.44411 0.64866 0.46741 0.67023 0.50819 0.65844 0.48531 0.63642 Metetra
  7013. 0.698 0.774 0.911 setrgbcolor
  7014. 0.48531 0.63642 0.50819 0.65844 0.54957 0.64146 0.52715 0.6189 Metetra
  7015. 0.734 0.781 0.891 setrgbcolor
  7016. 0.52715 0.6189 0.54957 0.64146 0.59138 0.61959 0.56947 0.5964 Metetra
  7017. 0.761 0.785 0.872 setrgbcolor
  7018. 0.56947 0.5964 0.59138 0.61959 0.63346 0.59316 0.61209 0.56928 Metetra
  7019. 0.783 0.787 0.856 setrgbcolor
  7020. 0.61209 0.56928 0.63346 0.59316 0.67566 0.56254 0.65485 0.53789 Metetra
  7021. 0.8 0.788 0.842 setrgbcolor
  7022. 0.65485 0.53789 0.67566 0.56254 0.71784 0.5281 0.69761 0.50263 Metetra
  7023. 0.814 0.788 0.829 setrgbcolor
  7024. 0.69761 0.50263 0.71784 0.5281 0.75988 0.49025 0.74023 0.46392 Metetra
  7025. 0.825 0.788 0.817 setrgbcolor
  7026. 0.74023 0.46392 0.75988 0.49025 0.80166 0.44937 0.78261 0.42214 Metetra
  7027. 0.834 0.787 0.807 setrgbcolor
  7028. 0.78261 0.42214 0.80166 0.44937 0.8431 0.40585 0.82464 0.3777 Metetra
  7029. 0.842 0.786 0.798 setrgbcolor
  7030. 0.82464 0.3777 0.8431 0.40585 0.88411 0.36006 0.86625 0.33098 Metetra
  7031. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  7032. 0.26442 0.61975 0.28948 0.6409 0.32626 0.65157 0.30136 0.63027 Metetra
  7033. 0.369 0.651 0.965 setrgbcolor
  7034. 0.30136 0.63027 0.32626 0.65157 0.36441 0.65639 0.33974 0.63486 Metetra
  7035. 0.495 0.708 0.965 setrgbcolor
  7036. 0.33974 0.63486 0.36441 0.65639 0.40375 0.65538 0.37939 0.63356 Metetra
  7037. 0.586 0.742 0.951 setrgbcolor
  7038. 0.37939 0.63356 0.40375 0.65538 0.44411 0.64866 0.42012 0.62646 Metetra
  7039. 0.651 0.763 0.931 setrgbcolor
  7040. 0.42012 0.62646 0.44411 0.64866 0.48531 0.63642 0.46174 0.61374 Metetra
  7041. 0.699 0.774 0.91 setrgbcolor
  7042. 0.46174 0.61374 0.48531 0.63642 0.52715 0.6189 0.50407 0.59567 Metetra
  7043. 0.735 0.781 0.89 setrgbcolor
  7044. 0.50407 0.59567 0.52715 0.6189 0.56947 0.5964 0.5469 0.57253 Metetra
  7045. 0.763 0.785 0.872 setrgbcolor
  7046. 0.5469 0.57253 0.56947 0.5964 0.61209 0.56928 0.59007 0.54469 Metetra
  7047. 0.784 0.787 0.855 setrgbcolor
  7048. 0.59007 0.54469 0.61209 0.56928 0.65485 0.53789 0.63342 0.51252 Metetra
  7049. 0.801 0.788 0.841 setrgbcolor
  7050. 0.63342 0.51252 0.65485 0.53789 0.69761 0.50263 0.67677 0.47644 Metetra
  7051. 0.815 0.788 0.828 setrgbcolor
  7052. 0.67677 0.47644 0.69761 0.50263 0.74023 0.46392 0.72001 0.43684 Metetra
  7053. 0.826 0.788 0.816 setrgbcolor
  7054. 0.72001 0.43684 0.74023 0.46392 0.78261 0.42214 0.76301 0.39416 Metetra
  7055. 0.835 0.788 0.806 setrgbcolor
  7056. 0.76301 0.39416 0.78261 0.42214 0.82464 0.3777 0.80566 0.3488 Metetra
  7057. 0.843 0.787 0.797 setrgbcolor
  7058. 0.80566 0.3488 0.82464 0.3777 0.86625 0.33098 0.84788 0.30115 Metetra
  7059. 0.195 0.557 0.934 setrgbcolor
  7060. 0.23864 0.598 0.26442 0.61975 0.30136 0.63027 0.27574 0.60834 Metetra
  7061. 0.369 0.651 0.965 setrgbcolor
  7062. 0.27574 0.60834 0.30136 0.63027 0.33974 0.63486 0.31435 0.6127 Metetra
  7063. 0.496 0.709 0.965 setrgbcolor
  7064. 0.31435 0.6127 0.33974 0.63486 0.37939 0.63356 0.35431 0.61108 Metetra
  7065. 0.587 0.743 0.951 setrgbcolor
  7066. 0.35431 0.61108 0.37939 0.63356 0.42012 0.62646 0.39541 0.60359 Metetra
  7067. 0.652 0.763 0.93 setrgbcolor
  7068. 0.39541 0.60359 0.42012 0.62646 0.46174 0.61374 0.43747 0.59038 Metetra
  7069. 0.7 0.775 0.909 setrgbcolor
  7070. 0.43747 0.59038 0.46174 0.61374 0.50407 0.59567 0.48028 0.57173 Metetra
  7071. 0.736 0.782 0.889 setrgbcolor
  7072. 0.48028 0.57173 0.50407 0.59567 0.5469 0.57253 0.52365 0.54794 Metetra
  7073. 0.764 0.786 0.871 setrgbcolor
  7074. 0.52365 0.54794 0.5469 0.57253 0.59007 0.54469 0.56739 0.51937 Metetra
  7075. 0.785 0.788 0.854 setrgbcolor
  7076. 0.56739 0.51937 0.59007 0.54469 0.63342 0.51252 0.61133 0.48641 Metetra
  7077. 0.802 0.789 0.84 setrgbcolor
  7078. 0.61133 0.48641 0.63342 0.51252 0.67677 0.47644 0.65531 0.44948 Metetra
  7079. 0.816 0.789 0.827 setrgbcolor
  7080. 0.65531 0.44948 0.67677 0.47644 0.72001 0.43684 0.69919 0.409 Metetra
  7081. 0.827 0.789 0.815 setrgbcolor
  7082. 0.69919 0.409 0.72001 0.43684 0.76301 0.39416 0.74283 0.3654 Metetra
  7083. 0.837 0.788 0.805 setrgbcolor
  7084. 0.74283 0.3654 0.76301 0.39416 0.80566 0.3488 0.78612 0.3191 Metetra
  7085. 0.844 0.787 0.796 setrgbcolor
  7086. 0.78612 0.3191 0.80566 0.3488 0.84788 0.30115 0.82898 0.27051 Metetra
  7087. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7088. 0.2121 0.57561 0.23864 0.598 0.27574 0.60834 0.24935 0.58577 Metetra
  7089. 0.369 0.651 0.965 setrgbcolor
  7090. 0.24935 0.58577 0.27574 0.60834 0.31435 0.6127 0.2882 0.58988 Metetra
  7091. 0.497 0.709 0.965 setrgbcolor
  7092. 0.2882 0.58988 0.31435 0.6127 0.35431 0.61108 0.32846 0.58793 Metetra
  7093. 0.588 0.743 0.95 setrgbcolor
  7094. 0.32846 0.58793 0.35431 0.61108 0.39541 0.60359 0.36994 0.58001 Metetra
  7095. 0.653 0.763 0.93 setrgbcolor
  7096. 0.36994 0.58001 0.39541 0.60359 0.43747 0.59038 0.41244 0.56631 Metetra
  7097. 0.701 0.775 0.909 setrgbcolor
  7098. 0.41244 0.56631 0.43747 0.59038 0.48028 0.57173 0.45575 0.54707 Metetra
  7099. 0.737 0.782 0.889 setrgbcolor
  7100. 0.45575 0.54707 0.48028 0.57173 0.52365 0.54794 0.49967 0.5226 Metetra
  7101. 0.765 0.786 0.87 setrgbcolor
  7102. 0.49967 0.5226 0.52365 0.54794 0.56739 0.51937 0.544 0.49329 Metetra
  7103. 0.786 0.788 0.854 setrgbcolor
  7104. 0.544 0.49329 0.56739 0.51937 0.61133 0.48641 0.58857 0.45952 Metetra
  7105. 0.804 0.789 0.839 setrgbcolor
  7106. 0.58857 0.45952 0.61133 0.48641 0.65531 0.44948 0.63319 0.42172 Metetra
  7107. 0.817 0.789 0.826 setrgbcolor
  7108. 0.63319 0.42172 0.65531 0.44948 0.69919 0.409 0.67773 0.38034 Metetra
  7109. 0.829 0.789 0.815 setrgbcolor
  7110. 0.67773 0.38034 0.69919 0.409 0.74283 0.3654 0.72204 0.33581 Metetra
  7111. 0.838 0.789 0.804 setrgbcolor
  7112. 0.72204 0.33581 0.74283 0.3654 0.78612 0.3191 0.766 0.28857 Metetra
  7113. 0.845 0.788 0.796 setrgbcolor
  7114. 0.766 0.28857 0.78612 0.3191 0.82898 0.27051 0.80953 0.23904 Metetra
  7115. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7116. 0.18478 0.55256 0.2121 0.57561 0.24935 0.58577 0.22217 0.56252 Metetra
  7117. 0.37 0.651 0.965 setrgbcolor
  7118. 0.22217 0.56252 0.24935 0.58577 0.2882 0.58988 0.26125 0.56636 Metetra
  7119. 0.497 0.709 0.965 setrgbcolor
  7120. 0.26125 0.56636 0.2882 0.58988 0.32846 0.58793 0.30182 0.56406 Metetra
  7121. 0.589 0.743 0.95 setrgbcolor
  7122. 0.30182 0.56406 0.32846 0.58793 0.36994 0.58001 0.34368 0.55571 Metetra
  7123. 0.655 0.764 0.93 setrgbcolor
  7124. 0.34368 0.55571 0.36994 0.58001 0.41244 0.56631 0.38663 0.54148 Metetra
  7125. 0.703 0.775 0.908 setrgbcolor
  7126. 0.38663 0.54148 0.41244 0.56631 0.45575 0.54707 0.43046 0.52163 Metetra
  7127. 0.739 0.782 0.888 setrgbcolor
  7128. 0.43046 0.52163 0.45575 0.54707 0.49967 0.5226 0.47494 0.49648 Metetra
  7129. 0.766 0.786 0.869 setrgbcolor
  7130. 0.47494 0.49648 0.49967 0.5226 0.544 0.49329 0.51989 0.46639 Metetra
  7131. 0.788 0.788 0.853 setrgbcolor
  7132. 0.51989 0.46639 0.544 0.49329 0.58857 0.45952 0.56509 0.4318 Metetra
  7133. 0.805 0.789 0.838 setrgbcolor
  7134. 0.56509 0.4318 0.58857 0.45952 0.63319 0.42172 0.61039 0.39313 Metetra
  7135. 0.818 0.79 0.825 setrgbcolor
  7136. 0.61039 0.39313 0.63319 0.42172 0.67773 0.38034 0.65561 0.35083 Metetra
  7137. 0.83 0.789 0.814 setrgbcolor
  7138. 0.65561 0.35083 0.67773 0.38034 0.72204 0.33581 0.70061 0.30537 Metetra
  7139. 0.839 0.789 0.804 setrgbcolor
  7140. 0.70061 0.30537 0.72204 0.33581 0.766 0.28857 0.74528 0.25718 Metetra
  7141. 0.847 0.788 0.795 setrgbcolor
  7142. 0.74528 0.25718 0.766 0.28857 0.80953 0.23904 0.78951 0.20669 Metetra
  7143. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7144. 0.15664 0.52881 0.18478 0.55256 0.22217 0.56252 0.19416 0.53855 Metetra
  7145. 0.37 0.652 0.965 setrgbcolor
  7146. 0.19416 0.53855 0.22217 0.56252 0.26125 0.56636 0.23346 0.54211 Metetra
  7147. 0.498 0.709 0.965 setrgbcolor
  7148. 0.23346 0.54211 0.26125 0.56636 0.30182 0.56406 0.27434 0.53945 Metetra
  7149. 0.59 0.744 0.95 setrgbcolor
  7150. 0.27434 0.53945 0.30182 0.56406 0.34368 0.55571 0.31659 0.53065 Metetra
  7151. 0.656 0.764 0.929 setrgbcolor
  7152. 0.31659 0.53065 0.34368 0.55571 0.38663 0.54148 0.36001 0.51587 Metetra
  7153. 0.704 0.776 0.908 setrgbcolor
  7154. 0.36001 0.51587 0.38663 0.54148 0.43046 0.52163 0.40436 0.49539 Metetra
  7155. 0.74 0.782 0.887 setrgbcolor
  7156. 0.40436 0.49539 0.43046 0.52163 0.47494 0.49648 0.44943 0.46952 Metetra
  7157. 0.767 0.786 0.869 setrgbcolor
  7158. 0.44943 0.46952 0.47494 0.49648 0.51989 0.46639 0.495 0.43866 Metetra
  7159. 0.789 0.788 0.852 setrgbcolor
  7160. 0.495 0.43866 0.51989 0.46639 0.56509 0.4318 0.54087 0.40322 Metetra
  7161. 0.806 0.789 0.837 setrgbcolor
  7162. 0.54087 0.40322 0.56509 0.4318 0.61039 0.39313 0.58686 0.36365 Metetra
  7163. 0.82 0.79 0.824 setrgbcolor
  7164. 0.58686 0.36365 0.61039 0.39313 0.65561 0.35083 0.63279 0.32043 Metetra
  7165. 0.831 0.79 0.813 setrgbcolor
  7166. 0.63279 0.32043 0.65561 0.35083 0.70061 0.30537 0.67852 0.27401 Metetra
  7167. 0.84 0.789 0.803 setrgbcolor
  7168. 0.67852 0.27401 0.70061 0.30537 0.74528 0.25718 0.72392 0.22486 Metetra
  7169. 0.848 0.789 0.794 setrgbcolor
  7170. 0.72392 0.22486 0.74528 0.25718 0.78951 0.20669 0.76887 0.17341 Metetra
  7171. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7172. 0.12764 0.50434 0.15664 0.52881 0.19416 0.53855 0.16529 0.51385 Metetra
  7173. 0.371 0.652 0.965 setrgbcolor
  7174. 0.16529 0.51385 0.19416 0.53855 0.23346 0.54211 0.2048 0.5171 Metetra
  7175. 0.499 0.71 0.965 setrgbcolor
  7176. 0.2048 0.5171 0.23346 0.54211 0.27434 0.53945 0.24599 0.51405 Metetra
  7177. 0.591 0.744 0.95 setrgbcolor
  7178. 0.24599 0.51405 0.27434 0.53945 0.31659 0.53065 0.28864 0.50478 Metetra
  7179. 0.657 0.764 0.929 setrgbcolor
  7180. 0.28864 0.50478 0.31659 0.53065 0.36001 0.51587 0.33252 0.48944 Metetra
  7181. 0.705 0.776 0.907 setrgbcolor
  7182. 0.33252 0.48944 0.36001 0.51587 0.40436 0.49539 0.37741 0.46831 Metetra
  7183. 0.741 0.783 0.887 setrgbcolor
  7184. 0.37741 0.46831 0.40436 0.49539 0.44943 0.46952 0.42308 0.44171 Metetra
  7185. 0.768 0.787 0.868 setrgbcolor
  7186. 0.42308 0.44171 0.44943 0.46952 0.495 0.43866 0.4693 0.41004 Metetra
  7187. 0.79 0.789 0.851 setrgbcolor
  7188. 0.4693 0.41004 0.495 0.43866 0.54087 0.40322 0.51587 0.37373 Metetra
  7189. 0.807 0.79 0.837 setrgbcolor
  7190. 0.51587 0.37373 0.54087 0.40322 0.58686 0.36365 0.56257 0.33325 Metetra
  7191. 0.821 0.79 0.824 setrgbcolor
  7192. 0.56257 0.33325 0.58686 0.36365 0.63279 0.32043 0.60925 0.28909 Metetra
  7193. 0.832 0.79 0.812 setrgbcolor
  7194. 0.60925 0.28909 0.63279 0.32043 0.67852 0.27401 0.65573 0.24171 Metetra
  7195. 0.841 0.79 0.802 setrgbcolor
  7196. 0.65573 0.24171 0.67852 0.27401 0.72392 0.22486 0.70189 0.19158 Metetra
  7197. 0.849 0.789 0.793 setrgbcolor
  7198. 0.70189 0.19158 0.72392 0.22486 0.76887 0.17341 0.7476 0.13916 Metetra
  7199. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7200. 0.09773 0.47912 0.12764 0.50434 0.16529 0.51385 0.1355 0.48836 Metetra
  7201. 0.371 0.652 0.965 setrgbcolor
  7202. 0.1355 0.48836 0.16529 0.51385 0.2048 0.5171 0.17523 0.49129 Metetra
  7203. 0.5 0.71 0.965 setrgbcolor
  7204. 0.17523 0.49129 0.2048 0.5171 0.24599 0.51405 0.21672 0.48784 Metetra
  7205. 0.592 0.744 0.949 setrgbcolor
  7206. 0.21672 0.48784 0.24599 0.51405 0.28864 0.50478 0.25977 0.47806 Metetra
  7207. 0.658 0.764 0.928 setrgbcolor
  7208. 0.25977 0.47806 0.28864 0.50478 0.33252 0.48944 0.30413 0.46214 Metetra
  7209. 0.706 0.776 0.907 setrgbcolor
  7210. 0.30413 0.46214 0.33252 0.48944 0.37741 0.46831 0.34958 0.44033 Metetra
  7211. 0.742 0.783 0.886 setrgbcolor
  7212. 0.34958 0.44033 0.37741 0.46831 0.42308 0.44171 0.39587 0.41298 Metetra
  7213. 0.769 0.787 0.867 setrgbcolor
  7214. 0.39587 0.41298 0.42308 0.44171 0.4693 0.41004 0.44276 0.38048 Metetra
  7215. 0.791 0.789 0.851 setrgbcolor
  7216. 0.44276 0.38048 0.4693 0.41004 0.51587 0.37373 0.49004 0.34329 Metetra
  7217. 0.808 0.79 0.836 setrgbcolor
  7218. 0.49004 0.34329 0.51587 0.37373 0.56257 0.33325 0.53749 0.30189 Metetra
  7219. 0.822 0.79 0.823 setrgbcolor
  7220. 0.53749 0.30189 0.56257 0.33325 0.60925 0.28909 0.58494 0.25676 Metetra
  7221. 0.833 0.79 0.811 setrgbcolor
  7222. 0.58494 0.25676 0.60925 0.28909 0.65573 0.24171 0.63221 0.2084 Metetra
  7223. 0.842 0.79 0.801 setrgbcolor
  7224. 0.63221 0.2084 0.65573 0.24171 0.70189 0.19158 0.67915 0.15729 Metetra
  7225. 0.85 0.79 0.793 setrgbcolor
  7226. 0.67915 0.15729 0.70189 0.19158 0.7476 0.13916 0.72565 0.10389 Metetra
  7227. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7228. 0.06689 0.45309 0.09773 0.47912 0.1355 0.48836 0.10476 0.46206 Metetra
  7229. 0.371 0.652 0.965 setrgbcolor
  7230. 0.10476 0.46206 0.1355 0.48836 0.17523 0.49129 0.1447 0.46464 Metetra
  7231. 0.5 0.71 0.965 setrgbcolor
  7232. 0.1447 0.46464 0.17523 0.49129 0.21672 0.48784 0.1865 0.46076 Metetra
  7233. 0.593 0.745 0.949 setrgbcolor
  7234. 0.1865 0.46076 0.21672 0.48784 0.25977 0.47806 0.22995 0.45047 Metetra
  7235. 0.659 0.765 0.928 setrgbcolor
  7236. 0.22995 0.45047 0.25977 0.47806 0.30413 0.46214 0.2748 0.43394 Metetra
  7237. 0.707 0.776 0.906 setrgbcolor
  7238. 0.2748 0.43394 0.30413 0.46214 0.34958 0.44033 0.32082 0.41143 Metetra
  7239. 0.743 0.783 0.885 setrgbcolor
  7240. 0.32082 0.41143 0.34958 0.44033 0.39587 0.41298 0.36774 0.3833 Metetra
  7241. 0.77 0.787 0.867 setrgbcolor
  7242. 0.36774 0.3833 0.39587 0.41298 0.44276 0.38048 0.41533 0.34995 Metetra
  7243. 0.792 0.789 0.85 setrgbcolor
  7244. 0.41533 0.34995 0.44276 0.38048 0.49004 0.34329 0.46335 0.31186 Metetra
  7245. 0.809 0.79 0.835 setrgbcolor
  7246. 0.46335 0.31186 0.49004 0.34329 0.53749 0.30189 0.51158 0.2695 Metetra
  7247. 0.823 0.791 0.822 setrgbcolor
  7248. 0.51158 0.2695 0.53749 0.30189 0.58494 0.25676 0.55982 0.22339 Metetra
  7249. 0.834 0.791 0.811 setrgbcolor
  7250. 0.55982 0.22339 0.58494 0.25676 0.63221 0.2084 0.60791 0.17404 Metetra
  7251. 0.843 0.791 0.801 setrgbcolor
  7252. 0.60791 0.17404 0.63221 0.2084 0.67915 0.15729 0.65568 0.12193 Metetra
  7253. 0.851 0.79 0.792 setrgbcolor
  7254. 0.65568 0.12193 0.67915 0.15729 0.72565 0.10389 0.70301 0.06754 Metetra
  7255. 0.196 0.557 0.934 setrgbcolor
  7256. 0.03506 0.42624 0.06689 0.45309 0.10476 0.46206 0.07303 0.43491 Metetra
  7257. 0.372 0.652 0.965 setrgbcolor
  7258. 0.07303 0.43491 0.10476 0.46206 0.1447 0.46464 0.11316 0.43712 Metetra
  7259. 0.501 0.711 0.965 setrgbcolor
  7260. 0.11316 0.43712 0.1447 0.46464 0.1865 0.46076 0.15526 0.43278 Metetra
  7261. 0.593 0.745 0.949 setrgbcolor
  7262. 0.15526 0.43278 0.1865 0.46076 0.22995 0.45047 0.19912 0.42195 Metetra
  7263. 0.66 0.765 0.928 setrgbcolor
  7264. 0.19912 0.42195 0.22995 0.45047 0.2748 0.43394 0.24447 0.40478 Metetra
  7265. 0.708 0.777 0.906 setrgbcolor
  7266. 0.24447 0.40478 0.2748 0.43394 0.32082 0.41143 0.29107 0.38155 Metetra
  7267. 0.744 0.783 0.885 setrgbcolor
  7268. 0.29107 0.38155 0.32082 0.41143 0.36774 0.3833 0.33865 0.35261 Metetra
  7269. 0.771 0.787 0.866 setrgbcolor
  7270. 0.33865 0.35261 0.36774 0.3833 0.41533 0.34995 0.38696 0.31839 Metetra
  7271. 0.793 0.789 0.849 setrgbcolor
  7272. 0.38696 0.31839 0.41533 0.34995 0.46335 0.31186 0.43575 0.27937 Metetra
  7273. 0.81 0.79 0.834 setrgbcolor
  7274. 0.43575 0.27937 0.46335 0.31186 0.51158 0.2695 0.48479 0.23604 Metetra
  7275. 0.824 0.791 0.821 setrgbcolor
  7276. 0.48479 0.23604 0.51158 0.2695 0.55982 0.22339 0.53386 0.18894 Metetra
  7277. 0.835 0.791 0.81 setrgbcolor
  7278. 0.53386 0.18894 0.55982 0.22339 0.60791 0.17404 0.5828 0.13857 Metetra
  7279. 0.844 0.791 0.8 setrgbcolor
  7280. 0.5828 0.13857 0.60791 0.17404 0.65568 0.12193 0.63143 0.08544 Metetra
  7281. 0.852 0.791 0.791 setrgbcolor
  7282. 0.63143 0.08544 0.65568 0.12193 0.70301 0.06754 0.67962 0.03005 Metetra
  7283. grestore
  7284. gsave
  7285. 0.002 setlinewidth
  7286. 0.67932 0.02494 moveto
  7287. 0.94594 0.43277 lineto
  7288. stroke
  7289. 0.94594 0.43277 moveto
  7290. 0.97506 0.64585 lineto
  7291. stroke
  7292. 0.97506 0.64585 moveto
  7293. 0.69286 0.25814 lineto
  7294. stroke
  7295. 0.69286 0.25814 moveto
  7296. 0.67932 0.02494 lineto
  7297. stroke
  7298. 0.06024 0.26735 moveto
  7299. 0.02494 0.49015 lineto
  7300. stroke
  7301. 0.02494 0.49015 moveto
  7302. 0.69286 0.25814 lineto
  7303. stroke
  7304. 0.69286 0.25814 moveto
  7305. 0.67932 0.02494 lineto
  7306. stroke
  7307. 0.67932 0.02494 moveto
  7308. 0.06024 0.26735 lineto
  7309. stroke
  7310. grestore
  7311. gsave
  7312. gsave
  7313. 0.002 setlinewidth
  7314. 0.06024 0.26735 moveto
  7315. 0.67932 0.02494 lineto
  7316. stroke
  7317. grestore
  7318. gsave
  7319. 0.002 setlinewidth
  7320. 0.06024 0.26735 moveto
  7321. 0.0648 0.2716 lineto
  7322. stroke
  7323. grestore
  7324. [(0)] 0.05113 0.25884 1 0.933946 Mshowa
  7325. gsave
  7326. 0.002 setlinewidth
  7327. 0.17239 0.22343 moveto
  7328. 0.17677 0.22787 lineto
  7329. stroke
  7330. grestore
  7331. [(0.2)] 0.16364 0.21456 0.987329 1 Mshowa
  7332. gsave
  7333. 0.002 setlinewidth
  7334. 0.28996 0.1774 moveto
  7335. 0.29414 0.18202 lineto
  7336. stroke
  7337. grestore
  7338. [(0.4)] 0.2816 0.16815 0.903932 1 Mshowa
  7339. gsave
  7340. 0.002 setlinewidth
  7341. 0.41333 0.12909 moveto
  7342. 0.41729 0.13391 lineto
  7343. stroke
  7344. grestore
  7345. [(0.6)] 0.40542 0.11945 0.820535 1 Mshowa
  7346. gsave
  7347. 0.002 setlinewidth
  7348. 0.54296 0.07833 moveto
  7349. 0.54666 0.08335 lineto
  7350. stroke
  7351. grestore
  7352. [(0.8)] 0.53556 0.0683 0.737139 1 Mshowa
  7353. gsave
  7354. 0.002 setlinewidth
  7355. 0.67932 0.02494 moveto
  7356. 0.68274 0.03015 lineto
  7357. stroke
  7358. grestore
  7359. [(1)] 0.6725 0.0145 0.653742 1 Mshowa
  7360. gsave
  7361. 0.001 setlinewidth
  7362. 0.08226 0.25873 moveto
  7363. 0.08497 0.2613 lineto
  7364. stroke
  7365. grestore
  7366. gsave
  7367. 0.001 setlinewidth
  7368. 0.10448 0.25003 moveto
  7369. 0.10717 0.25262 lineto
  7370. stroke
  7371. grestore
  7372. gsave
  7373. 0.001 setlinewidth
  7374. 0.12691 0.24125 moveto
  7375. 0.12958 0.24386 lineto
  7376. stroke
  7377. grestore
  7378. gsave
  7379. 0.001 setlinewidth
  7380. 0.14954 0.23238 moveto
  7381. 0.15219 0.23502 lineto
  7382. stroke
  7383. grestore
  7384. gsave
  7385. 0.001 setlinewidth
  7386. 0.19546 0.2144 moveto
  7387. 0.19807 0.21708 lineto
  7388. stroke
  7389. grestore
  7390. gsave
  7391. 0.001 setlinewidth
  7392. 0.21875 0.20528 moveto
  7393. 0.22133 0.20799 lineto
  7394. stroke
  7395. grestore
  7396. gsave
  7397. 0.001 setlinewidth
  7398. 0.24226 0.19608 moveto
  7399. 0.24482 0.19881 lineto
  7400. stroke
  7401. grestore
  7402. gsave
  7403. 0.001 setlinewidth
  7404. 0.26599 0.18678 moveto
  7405. 0.26853 0.18953 lineto
  7406. stroke
  7407. grestore
  7408. gsave
  7409. 0.001 setlinewidth
  7410. 0.31415 0.16792 moveto
  7411. 0.31664 0.17072 lineto
  7412. stroke
  7413. grestore
  7414. gsave
  7415. 0.001 setlinewidth
  7416. 0.33859 0.15836 moveto
  7417. 0.34104 0.16118 lineto
  7418. stroke
  7419. grestore
  7420. gsave
  7421. 0.001 setlinewidth
  7422. 0.36326 0.1487 moveto
  7423. 0.36569 0.15154 lineto
  7424. stroke
  7425. grestore
  7426. gsave
  7427. 0.001 setlinewidth
  7428. 0.38817 0.13894 moveto
  7429. 0.39057 0.14181 lineto
  7430. stroke
  7431. grestore
  7432. gsave
  7433. 0.001 setlinewidth
  7434. 0.43874 0.11914 moveto
  7435. 0.44108 0.12206 lineto
  7436. stroke
  7437. grestore
  7438. gsave
  7439. 0.001 setlinewidth
  7440. 0.4644 0.10909 moveto
  7441. 0.46672 0.11203 lineto
  7442. stroke
  7443. grestore
  7444. gsave
  7445. 0.001 setlinewidth
  7446. 0.49033 0.09894 moveto
  7447. 0.49261 0.1019 lineto
  7448. stroke
  7449. grestore
  7450. gsave
  7451. 0.001 setlinewidth
  7452. 0.51651 0.08869 moveto
  7453. 0.51876 0.09168 lineto
  7454. stroke
  7455. grestore
  7456. gsave
  7457. 0.001 setlinewidth
  7458. 0.56967 0.06787 moveto
  7459. 0.57186 0.07091 lineto
  7460. stroke
  7461. grestore
  7462. gsave
  7463. 0.001 setlinewidth
  7464. 0.59667 0.0573 moveto
  7465. 0.59882 0.06036 lineto
  7466. stroke
  7467. grestore
  7468. gsave
  7469. 0.001 setlinewidth
  7470. 0.62394 0.04662 moveto
  7471. 0.62605 0.04971 lineto
  7472. stroke
  7473. grestore
  7474. gsave
  7475. 0.001 setlinewidth
  7476. 0.65149 0.03584 moveto
  7477. 0.65357 0.03894 lineto
  7478. stroke
  7479. grestore
  7480. [(t)] 0.30204 0.09689 0.862234 1 Mshowa
  7481. grestore
  7482. gsave
  7483. gsave
  7484. 0.002 setlinewidth
  7485. 0.67932 0.02494 moveto
  7486. 0.94594 0.43277 lineto
  7487. stroke
  7488. grestore
  7489. gsave
  7490. 0.002 setlinewidth
  7491. 0.67932 0.02494 moveto
  7492. 0.67352 0.02721 lineto
  7493. stroke
  7494. grestore
  7495. [(-2)] 0.69093 0.02039 -1 0.391569 Mshowa
  7496. gsave
  7497. 0.002 setlinewidth
  7498. 0.74907 0.13163 moveto
  7499. 0.74322 0.13377 lineto
  7500. stroke
  7501. grestore
  7502. [(-1.8)] 0.76078 0.12733 -1 0.366986 Mshowa
  7503. gsave
  7504. 0.002 setlinewidth
  7505. 0.8121 0.22803 moveto
  7506. 0.8062 0.23007 lineto
  7507. stroke
  7508. grestore
  7509. [(-1.6)] 0.82388 0.22396 -1 0.345307 Mshowa
  7510. gsave
  7511. 0.002 setlinewidth
  7512. 0.86933 0.31557 moveto
  7513. 0.8634 0.31751 lineto
  7514. stroke
  7515. grestore
  7516. [(-1.4)] 0.88118 0.31171 -1 0.326047 Mshowa
  7517. gsave
  7518. 0.002 setlinewidth
  7519. 0.92153 0.39542 moveto
  7520. 0.91557 0.39726 lineto
  7521. stroke
  7522. grestore
  7523. [(-1.2)] 0.93344 0.39174 -1 0.308822 Mshowa
  7524. gsave
  7525. 0.001 setlinewidth
  7526. 0.69386 0.04717 moveto
  7527. 0.69037 0.04852 lineto
  7528. stroke
  7529. grestore
  7530. gsave
  7531. 0.001 setlinewidth
  7532. 0.7081 0.06895 moveto
  7533. 0.7046 0.07028 lineto
  7534. stroke
  7535. grestore
  7536. gsave
  7537. 0.001 setlinewidth
  7538. 0.72204 0.09027 moveto
  7539. 0.71854 0.09159 lineto
  7540. stroke
  7541. grestore
  7542. gsave
  7543. 0.001 setlinewidth
  7544. 0.73569 0.11116 moveto
  7545. 0.73219 0.11246 lineto
  7546. stroke
  7547. grestore
  7548. gsave
  7549. 0.001 setlinewidth
  7550. 0.76218 0.15168 moveto
  7551. 0.75867 0.15295 lineto
  7552. stroke
  7553. grestore
  7554. gsave
  7555. 0.001 setlinewidth
  7556. 0.77503 0.17134 moveto
  7557. 0.77151 0.1726 lineto
  7558. stroke
  7559. grestore
  7560. gsave
  7561. 0.001 setlinewidth
  7562. 0.78763 0.19061 moveto
  7563. 0.7841 0.19185 lineto
  7564. stroke
  7565. grestore
  7566. gsave
  7567. 0.001 setlinewidth
  7568. 0.79998 0.2095 moveto
  7569. 0.79645 0.21074 lineto
  7570. stroke
  7571. grestore
  7572. gsave
  7573. 0.001 setlinewidth
  7574. 0.82398 0.24621 moveto
  7575. 0.82044 0.24742 lineto
  7576. stroke
  7577. grestore
  7578. gsave
  7579. 0.001 setlinewidth
  7580. 0.83564 0.26404 moveto
  7581. 0.83209 0.26524 lineto
  7582. stroke
  7583. grestore
  7584. gsave
  7585. 0.001 setlinewidth
  7586. 0.84708 0.28154 moveto
  7587. 0.84353 0.28272 lineto
  7588. stroke
  7589. grestore
  7590. gsave
  7591. 0.001 setlinewidth
  7592. 0.85831 0.29872 moveto
  7593. 0.85475 0.29989 lineto
  7594. stroke
  7595. grestore
  7596. gsave
  7597. 0.001 setlinewidth
  7598. 0.88015 0.33213 moveto
  7599. 0.87659 0.33327 lineto
  7600. stroke
  7601. grestore
  7602. gsave
  7603. 0.001 setlinewidth
  7604. 0.89077 0.34838 moveto
  7605. 0.88721 0.34951 lineto
  7606. stroke
  7607. grestore
  7608. gsave
  7609. 0.001 setlinewidth
  7610. 0.90121 0.36434 moveto
  7611. 0.89764 0.36546 lineto
  7612. stroke
  7613. grestore
  7614. gsave
  7615. 0.001 setlinewidth
  7616. 0.91146 0.38002 moveto
  7617. 0.90789 0.38113 lineto
  7618. stroke
  7619. grestore
  7620. gsave
  7621. 0.001 setlinewidth
  7622. 0.93142 0.41055 moveto
  7623. 0.92784 0.41165 lineto
  7624. stroke
  7625. grestore
  7626. gsave
  7627. 0.001 setlinewidth
  7628. 0.94114 0.42543 moveto
  7629. 0.93756 0.42651 lineto
  7630. stroke
  7631. grestore
  7632. [(a)] 0.89773 0.2266 -1 0.340282 Mshowa
  7633. grestore
  7634. gsave
  7635. gsave
  7636. 0.002 setlinewidth
  7637. 0.06024 0.26735 moveto
  7638. 0.02494 0.49015 lineto
  7639. stroke
  7640. grestore
  7641. gsave
  7642. 0.002 setlinewidth
  7643. 0.05759 0.28407 moveto
  7644. 0.0634 0.28181 lineto
  7645. stroke
  7646. grestore
  7647. [(3.8)] 0.04597 0.28858 1 -0.388274 Mshowa
  7648. gsave
  7649. 0.002 setlinewidth
  7650. 0.04659 0.35348 moveto
  7651. 0.05243 0.35129 lineto
  7652. stroke
  7653. grestore
  7654. [(3.9)] 0.03492 0.35785 1 -0.374557 Mshowa
  7655. gsave
  7656. 0.002 setlinewidth
  7657. 0.03506 0.42624 moveto
  7658. 0.04093 0.42413 lineto
  7659. stroke
  7660. grestore
  7661. [(4)] 0.02333 0.43046 1 -0.360108 Mshowa
  7662. gsave
  7663. 0.001 setlinewidth
  7664. 0.05543 0.29769 moveto
  7665. 0.05892 0.29635 lineto
  7666. stroke
  7667. grestore
  7668. gsave
  7669. 0.001 setlinewidth
  7670. 0.05325 0.31144 moveto
  7671. 0.05675 0.31011 lineto
  7672. stroke
  7673. grestore
  7674. gsave
  7675. 0.001 setlinewidth
  7676. 0.05105 0.32532 moveto
  7677. 0.05455 0.324 lineto
  7678. stroke
  7679. grestore
  7680. gsave
  7681. 0.001 setlinewidth
  7682. 0.04883 0.33933 moveto
  7683. 0.05233 0.33801 lineto
  7684. stroke
  7685. grestore
  7686. gsave
  7687. 0.001 setlinewidth
  7688. 0.04433 0.36775 moveto
  7689. 0.04784 0.36645 lineto
  7690. stroke
  7691. grestore
  7692. gsave
  7693. 0.001 setlinewidth
  7694. 0.04205 0.38216 moveto
  7695. 0.04556 0.38087 lineto
  7696. stroke
  7697. grestore
  7698. gsave
  7699. 0.001 setlinewidth
  7700. 0.03974 0.39671 moveto
  7701. 0.04325 0.39543 lineto
  7702. stroke
  7703. grestore
  7704. gsave
  7705. 0.001 setlinewidth
  7706. 0.03741 0.41141 moveto
  7707. 0.04093 0.41013 lineto
  7708. stroke
  7709. grestore
  7710. gsave
  7711. 0.001 setlinewidth
  7712. 0.05973 0.27057 moveto
  7713. 0.06322 0.26921 lineto
  7714. stroke
  7715. grestore
  7716. gsave
  7717. 0.001 setlinewidth
  7718. 0.03269 0.44121 moveto
  7719. 0.03621 0.43996 lineto
  7720. stroke
  7721. grestore
  7722. gsave
  7723. 0.001 setlinewidth
  7724. 0.03029 0.45634 moveto
  7725. 0.03382 0.45509 lineto
  7726. stroke
  7727. grestore
  7728. gsave
  7729. 0.001 setlinewidth
  7730. 0.02787 0.47161 moveto
  7731. 0.0314 0.47037 lineto
  7732. stroke
  7733. grestore
  7734. gsave
  7735. 0.001 setlinewidth
  7736. 0.02543 0.48703 moveto
  7737. 0.02896 0.4858 lineto
  7738. stroke
  7739. grestore
  7740. [( )] -0.02691 0.40064 1 -0.370357 Mshowa
  7741. grestore
  7742. % End of Graphics
  7743. MathPictureEnd
  7744. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; ]
  7745. The Unformatted text for this cell was not generated.
  7746. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  7747. when Unformatted text is generated.
  7748. ;[o]
  7749. -SurfaceGraphics-
  7750. :[font = text; inactive; preserveAspect; ]
  7751.  
  7752. Alternatively, we could set a to a constant value and plot y(t).  For a = -2, y(t) is plotted below:
  7753. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  7754.  
  7755. Plot[ Release[yicsol /. a -> -2], {t, 0, 2}, AxesLabel -> { "t", "y(t)" } ]
  7756. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; pictureLeft = 17; pictureWidth = 389; pictureHeight = 239; ]
  7757. %!
  7758. %%Creator: Mathematica
  7759. %%AspectRatio: 0.61803 
  7760. MathPictureStart
  7761. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  7762. % Scaling calculations
  7763. 0.02381 0.47619 -1.382056 0.487311 [
  7764. [(0.5)] 0.2619 0.07988 0 2 Msboxa
  7765. [(1)] 0.5 0.07988 0 2 Msboxa
  7766. [(1.5)] 0.7381 0.07988 0 2 Msboxa
  7767. [(2)] 0.97619 0.07988 0 2 Msboxa
  7768. [(t)] 1.025 0.07988 -1 0 Msboxa
  7769. [(3.2)] 0.01131 0.17734 1 0 Msboxa
  7770. [(3.4)] 0.01131 0.2748 1 0 Msboxa
  7771. [(3.6)] 0.01131 0.37226 1 0 Msboxa
  7772. [(3.8)] 0.01131 0.46972 1 0 Msboxa
  7773. [(4)] 0.01131 0.56719 1 0 Msboxa
  7774. [(y\(t\))] 0.02381 0.61803 0 -4 Msboxa
  7775. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  7776. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  7777. ] MathScale
  7778. % Start of Graphics
  7779. 1 setlinecap
  7780. 1 setlinejoin
  7781. newpath
  7782. %%Object: Graphics
  7783. [ ] 0 setdash
  7784. 0 setgray
  7785. gsave
  7786. gsave
  7787. 0.002 setlinewidth
  7788. 0.2619 0.07988 moveto
  7789. 0.2619 0.08613 lineto
  7790. stroke
  7791. grestore
  7792. [(0.5)] 0.2619 0.07988 0 2 Mshowa
  7793. gsave
  7794. 0.002 setlinewidth
  7795. 0.5 0.07988 moveto
  7796. 0.5 0.08613 lineto
  7797. stroke
  7798. grestore
  7799. [(1)] 0.5 0.07988 0 2 Mshowa
  7800. gsave
  7801. 0.002 setlinewidth
  7802. 0.7381 0.07988 moveto
  7803. 0.7381 0.08613 lineto
  7804. stroke
  7805. grestore
  7806. [(1.5)] 0.7381 0.07988 0 2 Mshowa
  7807. gsave
  7808. 0.002 setlinewidth
  7809. 0.97619 0.07988 moveto
  7810. 0.97619 0.08613 lineto
  7811. stroke
  7812. grestore
  7813. [(2)] 0.97619 0.07988 0 2 Mshowa
  7814. gsave
  7815. 0.001 setlinewidth
  7816. 0.07143 0.07988 moveto
  7817. 0.07143 0.08363 lineto
  7818. stroke
  7819. grestore
  7820. gsave
  7821. 0.001 setlinewidth
  7822. 0.11905 0.07988 moveto
  7823. 0.11905 0.08363 lineto
  7824. stroke
  7825. grestore
  7826. gsave
  7827. 0.001 setlinewidth
  7828. 0.16667 0.07988 moveto
  7829. 0.16667 0.08363 lineto
  7830. stroke
  7831. grestore
  7832. gsave
  7833. 0.001 setlinewidth
  7834. 0.21429 0.07988 moveto
  7835. 0.21429 0.08363 lineto
  7836. stroke
  7837. grestore
  7838. gsave
  7839. 0.001 setlinewidth
  7840. 0.30952 0.07988 moveto
  7841. 0.30952 0.08363 lineto
  7842. stroke
  7843. grestore
  7844. gsave
  7845. 0.001 setlinewidth
  7846. 0.35714 0.07988 moveto
  7847. 0.35714 0.08363 lineto
  7848. stroke
  7849. grestore
  7850. gsave
  7851. 0.001 setlinewidth
  7852. 0.40476 0.07988 moveto
  7853. 0.40476 0.08363 lineto
  7854. stroke
  7855. grestore
  7856. gsave
  7857. 0.001 setlinewidth
  7858. 0.45238 0.07988 moveto
  7859. 0.45238 0.08363 lineto
  7860. stroke
  7861. grestore
  7862. gsave
  7863. 0.001 setlinewidth
  7864. 0.54762 0.07988 moveto
  7865. 0.54762 0.08363 lineto
  7866. stroke
  7867. grestore
  7868. gsave
  7869. 0.001 setlinewidth
  7870. 0.59524 0.07988 moveto
  7871. 0.59524 0.08363 lineto
  7872. stroke
  7873. grestore
  7874. gsave
  7875. 0.001 setlinewidth
  7876. 0.64286 0.07988 moveto
  7877. 0.64286 0.08363 lineto
  7878. stroke
  7879. grestore
  7880. gsave
  7881. 0.001 setlinewidth
  7882. 0.69048 0.07988 moveto
  7883. 0.69048 0.08363 lineto
  7884. stroke
  7885. grestore
  7886. gsave
  7887. 0.001 setlinewidth
  7888. 0.78571 0.07988 moveto
  7889. 0.78571 0.08363 lineto
  7890. stroke
  7891. grestore
  7892. gsave
  7893. 0.001 setlinewidth
  7894. 0.83333 0.07988 moveto
  7895. 0.83333 0.08363 lineto
  7896. stroke
  7897. grestore
  7898. gsave
  7899. 0.001 setlinewidth
  7900. 0.88095 0.07988 moveto
  7901. 0.88095 0.08363 lineto
  7902. stroke
  7903. grestore
  7904. gsave
  7905. 0.001 setlinewidth
  7906. 0.92857 0.07988 moveto
  7907. 0.92857 0.08363 lineto
  7908. stroke
  7909. grestore
  7910. [(t)] 1.025 0.07988 -1 0 Mshowa
  7911. gsave
  7912. 0.002 setlinewidth
  7913. 0 0.07988 moveto
  7914. 1 0.07988 lineto
  7915. stroke
  7916. grestore
  7917. gsave
  7918. 0.002 setlinewidth
  7919. 0.02381 0.17734 moveto
  7920. 0.03006 0.17734 lineto
  7921. stroke
  7922. grestore
  7923. [(3.2)] 0.01131 0.17734 1 0 Mshowa
  7924. gsave
  7925. 0.002 setlinewidth
  7926. 0.02381 0.2748 moveto
  7927. 0.03006 0.2748 lineto
  7928. stroke
  7929. grestore
  7930. [(3.4)] 0.01131 0.2748 1 0 Mshowa
  7931. gsave
  7932. 0.002 setlinewidth
  7933. 0.02381 0.37226 moveto
  7934. 0.03006 0.37226 lineto
  7935. stroke
  7936. grestore
  7937. [(3.6)] 0.01131 0.37226 1 0 Mshowa
  7938. gsave
  7939. 0.002 setlinewidth
  7940. 0.02381 0.46972 moveto
  7941. 0.03006 0.46972 lineto
  7942. stroke
  7943. grestore
  7944. [(3.8)] 0.01131 0.46972 1 0 Mshowa
  7945. gsave
  7946. 0.002 setlinewidth
  7947. 0.02381 0.56719 moveto
  7948. 0.03006 0.56719 lineto
  7949. stroke
  7950. grestore
  7951. [(4)] 0.01131 0.56719 1 0 Mshowa
  7952. gsave
  7953. 0.001 setlinewidth
  7954. 0.02381 0.09937 moveto
  7955. 0.02756 0.09937 lineto
  7956. stroke
  7957. grestore
  7958. gsave
  7959. 0.001 setlinewidth
  7960. 0.02381 0.11886 moveto
  7961. 0.02756 0.11886 lineto
  7962. stroke
  7963. grestore
  7964. gsave
  7965. 0.001 setlinewidth
  7966. 0.02381 0.13835 moveto
  7967. 0.02756 0.13835 lineto
  7968. stroke
  7969. grestore
  7970. gsave
  7971. 0.001 setlinewidth
  7972. 0.02381 0.15785 moveto
  7973. 0.02756 0.15785 lineto
  7974. stroke
  7975. grestore
  7976. gsave
  7977. 0.001 setlinewidth
  7978. 0.02381 0.19683 moveto
  7979. 0.02756 0.19683 lineto
  7980. stroke
  7981. grestore
  7982. gsave
  7983. 0.001 setlinewidth
  7984. 0.02381 0.21632 moveto
  7985. 0.02756 0.21632 lineto
  7986. stroke
  7987. grestore
  7988. gsave
  7989. 0.001 setlinewidth
  7990. 0.02381 0.23582 moveto
  7991. 0.02756 0.23582 lineto
  7992. stroke
  7993. grestore
  7994. gsave
  7995. 0.001 setlinewidth
  7996. 0.02381 0.25531 moveto
  7997. 0.02756 0.25531 lineto
  7998. stroke
  7999. grestore
  8000. gsave
  8001. 0.001 setlinewidth
  8002. 0.02381 0.29429 moveto
  8003. 0.02756 0.29429 lineto
  8004. stroke
  8005. grestore
  8006. gsave
  8007. 0.001 setlinewidth
  8008. 0.02381 0.31379 moveto
  8009. 0.02756 0.31379 lineto
  8010. stroke
  8011. grestore
  8012. gsave
  8013. 0.001 setlinewidth
  8014. 0.02381 0.33328 moveto
  8015. 0.02756 0.33328 lineto
  8016. stroke
  8017. grestore
  8018. gsave
  8019. 0.001 setlinewidth
  8020. 0.02381 0.35277 moveto
  8021. 0.02756 0.35277 lineto
  8022. stroke
  8023. grestore
  8024. gsave
  8025. 0.001 setlinewidth
  8026. 0.02381 0.39176 moveto
  8027. 0.02756 0.39176 lineto
  8028. stroke
  8029. grestore
  8030. gsave
  8031. 0.001 setlinewidth
  8032. 0.02381 0.41125 moveto
  8033. 0.02756 0.41125 lineto
  8034. stroke
  8035. grestore
  8036. gsave
  8037. 0.001 setlinewidth
  8038. 0.02381 0.43074 moveto
  8039. 0.02756 0.43074 lineto
  8040. stroke
  8041. grestore
  8042. gsave
  8043. 0.001 setlinewidth
  8044. 0.02381 0.45023 moveto
  8045. 0.02756 0.45023 lineto
  8046. stroke
  8047. grestore
  8048. gsave
  8049. 0.001 setlinewidth
  8050. 0.02381 0.48922 moveto
  8051. 0.02756 0.48922 lineto
  8052. stroke
  8053. grestore
  8054. gsave
  8055. 0.001 setlinewidth
  8056. 0.02381 0.50871 moveto
  8057. 0.02756 0.50871 lineto
  8058. stroke
  8059. grestore
  8060. gsave
  8061. 0.001 setlinewidth
  8062. 0.02381 0.5282 moveto
  8063. 0.02756 0.5282 lineto
  8064. stroke
  8065. grestore
  8066. gsave
  8067. 0.001 setlinewidth
  8068. 0.02381 0.54769 moveto
  8069. 0.02756 0.54769 lineto
  8070. stroke
  8071. grestore
  8072. gsave
  8073. 0.001 setlinewidth
  8074. 0.02381 0.06038 moveto
  8075. 0.02756 0.06038 lineto
  8076. stroke
  8077. grestore
  8078. gsave
  8079. 0.001 setlinewidth
  8080. 0.02381 0.04089 moveto
  8081. 0.02756 0.04089 lineto
  8082. stroke
  8083. grestore
  8084. gsave
  8085. 0.001 setlinewidth
  8086. 0.02381 0.0214 moveto
  8087. 0.02756 0.0214 lineto
  8088. stroke
  8089. grestore
  8090. gsave
  8091. 0.001 setlinewidth
  8092. 0.02381 0.00191 moveto
  8093. 0.02756 0.00191 lineto
  8094. stroke
  8095. grestore
  8096. gsave
  8097. 0.001 setlinewidth
  8098. 0.02381 0.58668 moveto
  8099. 0.02756 0.58668 lineto
  8100. stroke
  8101. grestore
  8102. gsave
  8103. 0.001 setlinewidth
  8104. 0.02381 0.60617 moveto
  8105. 0.02756 0.60617 lineto
  8106. stroke
  8107. grestore
  8108. [(y\(t\))] 0.02381 0.61803 0 -4 Mshowa
  8109. gsave
  8110. 0.002 setlinewidth
  8111. 0.02381 0 moveto
  8112. 0.02381 0.61803 lineto
  8113. stroke
  8114. grestore
  8115. grestore
  8116. 0 0 moveto
  8117. 1 0 lineto
  8118. 1 0.61803 lineto
  8119. 0 0.61803 lineto
  8120. closepath
  8121. clip
  8122. newpath
  8123. gsave
  8124. gsave
  8125. 0.004 setlinewidth
  8126. 0.02381 0.56719 moveto
  8127. 0.04365 0.5766 lineto
  8128. 0.06349 0.58455 lineto
  8129. 0.08333 0.59106 lineto
  8130. 0.10317 0.59615 lineto
  8131. 0.12302 0.59986 lineto
  8132. 0.13294 0.60121 lineto
  8133. 0.1379 0.60175 lineto
  8134. 0.14286 0.60222 lineto
  8135. 0.14782 0.6026 lineto
  8136. 0.15278 0.6029 lineto
  8137. 0.15526 0.60302 lineto
  8138. 0.15774 0.60312 lineto
  8139. 0.16022 0.6032 lineto
  8140. 0.1627 0.60326 lineto
  8141. 0.16394 0.60328 lineto
  8142. 0.16518 0.6033 lineto
  8143. 0.16642 0.60331 lineto
  8144. 0.16766 0.60332 lineto
  8145. 0.1689 0.60332 lineto
  8146. 0.17014 0.60332 lineto
  8147. 0.17138 0.60331 lineto
  8148. 0.17262 0.6033 lineto
  8149. 0.17386 0.60328 lineto
  8150. 0.1751 0.60326 lineto
  8151. 0.17758 0.6032 lineto
  8152. 0.18006 0.60312 lineto
  8153. 0.18254 0.60302 lineto
  8154. 0.1875 0.60277 lineto
  8155. 0.19246 0.60244 lineto
  8156. 0.20238 0.60155 lineto
  8157. 0.2123 0.60037 lineto
  8158. 0.22222 0.59889 lineto
  8159. 0.24206 0.59508 lineto
  8160. 0.2619 0.59016 lineto
  8161. 0.30159 0.57719 lineto
  8162. 0.34127 0.56035 lineto
  8163. 0.38095 0.53998 lineto
  8164. 0.42063 0.51645 lineto
  8165. 0.46032 0.49009 lineto
  8166. 0.5 0.46122 lineto
  8167. 0.53968 0.43016 lineto
  8168. 0.57937 0.39721 lineto
  8169. 0.61905 0.36263 lineto
  8170. 0.65873 0.32668 lineto
  8171. 0.69841 0.2896 lineto
  8172. 0.7381 0.25161 lineto
  8173. 0.77778 0.21291 lineto
  8174. 0.81746 0.17368 lineto
  8175. 0.85714 0.13411 lineto
  8176. Mistroke
  8177. 0.89683 0.09433 lineto
  8178. 0.93651 0.05449 lineto
  8179. 0.97619 0.01472 lineto
  8180. Mfstroke
  8181. grestore
  8182. grestore
  8183. % End of Graphics
  8184. MathPictureEnd
  8185. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  8186. The Unformatted text for this cell was not generated.
  8187. Use options in the Actions Settings dialog box to control
  8188. when Unformatted text is generated.
  8189. ;[o]
  8190. -Graphics-
  8191. ^*)